Номер 499, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 499, страница 113.

499. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}+a}{a}$

б) $\frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}}=\frac{(x-\sqrt{ax})\sqrt{x}}{a\sqrt{x}·\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}-x\sqrt{a}}{ax}=$

$=\frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{ax}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a}$

в) $\frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}}=\frac{(2\sqrt{3}-3)\sqrt{3}}{5\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{2·3-3\sqrt{3}}{5·3}=$

$=\frac{3(2-\sqrt{3})}{5·3}=\frac{2-\sqrt{3}}{5}$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $, умножим числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{a} $. При этом мы предполагаем, что $ a > 0 $.

$ \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{(1+\sqrt{a}) \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{a}+a}{a} $.

В полученной дроби знаменатель равен $ a $, то есть не содержит знака корня.

Ответ: $ \frac{\sqrt{a}+a}{a} $

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}} $, умножим ее числитель и знаменатель на множитель $ \sqrt{x} $. Предполагается, что $ a \neq 0 $ и $ x > 0 $.

$ \frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}} = \frac{(x-\sqrt{ax}) \cdot \sqrt{x}}{a\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{ax} \cdot \sqrt{x}}{a(\sqrt{x})^2} = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{ax^2}}{ax} $.

Так как $ x > 0 $, то $ \sqrt{x^2}=x $. Следовательно, числитель можно упростить: $ x\sqrt{x} - x\sqrt{a} $. Вынесем общий множитель $ x $ за скобки: $ x(\sqrt{x}-\sqrt{a}) $.

Теперь вся дробь имеет вид $ \frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{ax} $. Сократим дробь на $ x $ (так как $ x \neq 0 $):

$ \frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{ax} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a} $.

Знаменатель полученной дроби равен $ a $, то есть является рациональным выражением.

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a} $

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $.

$ \frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3}-3) \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{5(\sqrt{3})^2} = \frac{2 \cdot 3 - 3\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{6-3\sqrt{3}}{15} $.

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки: $ 6-3\sqrt{3} = 3(2-\sqrt{3}) $.

Получим дробь $ \frac{3(2-\sqrt{3})}{15} $. Сократим числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3(2-\sqrt{3})}{15} = \frac{2-\sqrt{3}}{5} $.

Знаменатель полученной дроби равен 5, иррациональность устранена.

Ответ: $ \frac{2-\sqrt{3}}{5} $