Номер 505, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 505, страница 114.

505. Упростите выражение:

a) $15\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{160}=\sqrt{225}·\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{160}=\sqrt{225·\frac{2}{5}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{160}=\sqrt{45·2}-\sqrt{160}=\sqrt{90}-\sqrt{160}= \\ =\sqrt{9·10}-\sqrt{16·10}=3\sqrt{10}-4\sqrt{10}=-\sqrt{10} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{135}+10\sqrt{0,6}=\sqrt{135}+\sqrt{100}·\sqrt{0,6}=\sqrt{135}+ \\ +\sqrt{60}=\sqrt{9·15}+\sqrt{4·15}=3\sqrt{15}+2\sqrt{15}=5\sqrt{15} \end{gathered}$$

в) $6\sqrt{1\frac{1}{3}}-\sqrt{27}=\sqrt{36}·\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{27}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{36·\frac{4}{3}}-\sqrt{27}=\sqrt{48}-\sqrt{27}= \\ =\sqrt{16·3}-\sqrt{9·3}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

г) $0,5\sqrt{24}+10\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{24}+\sqrt{100}·\sqrt{\frac{3}{8}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{1}{4}}·\sqrt{24}+\sqrt{100·\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}·24}+\sqrt{\frac{25·3}{2}}= \\ =\sqrt{6}+\frac{\sqrt{25}·\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\frac{5·\sqrt{3}·\sqrt{2}}{2}= \\ =\sqrt{6}+\frac{5\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}+2,5\sqrt{6}=3,5\sqrt{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160}$, нужно привести оба члена к общему виду $k\sqrt{a}$.
Упростим первый член, внеся множитель под знак корня или избавившись от иррациональности в знаменателе. Используем второй способ: $15\sqrt{\frac{2}{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 3\sqrt{10}$.
Упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня. Разложим 160 на множители: $160 = 16 \cdot 10$. Тогда $\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное: $3\sqrt{10} - 4\sqrt{10} = (3-4)\sqrt{10} = -\sqrt{10}$.
Ответ: $-\sqrt{10}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6}$.
Упростим первый член, вынеся множитель из-под корня: $135 = 9 \cdot 15$, следовательно $\sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$.
Упростим второй член. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Тогда $10\sqrt{0,6} = 10\sqrt{\frac{3}{5}}$. Внесем 10 под корень: $\sqrt{100 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{20 \cdot 3} = \sqrt{60}$. Теперь вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
Сложим полученные выражения: $3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = (3+2)\sqrt{15} = 5\sqrt{15}$.
Ответ: $5\sqrt{15}$

в) Рассмотрим выражение $6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$.
Упростим первый член. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда $6\sqrt{1\frac{1}{3}} = 6\sqrt{\frac{4}{3}} = 6 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = 6 \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.
Упростим второй член: $27 = 9 \cdot 3$, значит $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Выполним вычитание: $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

г) Рассмотрим выражение $0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}$.
Упростим первый член: $0,5 = \frac{1}{2}$. $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Тогда $0,5\sqrt{24} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$.
Упростим второй член: $10\sqrt{\frac{3}{8}}$. Чтобы избавиться от дроби под корнем, домножим числитель и знаменатель на 2: $10\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}} = 10\sqrt{\frac{6}{16}} = 10 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{16}} = 10 \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{5}{2}\sqrt{6} = 2,5\sqrt{6}$.
Сложим полученные выражения: $\sqrt{6} + 2,5\sqrt{6} = (1+2,5)\sqrt{6} = 3,5\sqrt{6}$.
Ответ: $3,5\sqrt{6}$