Номер 503, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 503, страница 114.

503. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1)(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2-1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{2+2\sqrt{6}+3-1}= \\ =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{4+2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{2(2+\sqrt{6})}= \\ =\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{6})}{2(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})}= \\ =\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{12}+2\sqrt{3}-\sqrt{18}-2+\sqrt{6}}{2(4-6)}= \\ =\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-2+\sqrt{6}}{-4}= \\ =\frac{-\sqrt{2}-2+\sqrt{6}}{-4}=\frac{-(2+\sqrt{2}-\sqrt{6})}{-4}= \\ =\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{gathered}$$

б) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3}+2)(\sqrt{5}-\sqrt{3}-2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}^2-4}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{5-2\sqrt{15}+3-4}= \\ =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{4-2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{2(2-\sqrt{15})}= \\ =\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3}-2)(2+\sqrt{15})}{2(2-\sqrt{15})(2+\sqrt{15})}= \\ =\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{75}-2\sqrt{3}-\sqrt{45}-4-2\sqrt{15}}{2(4-15)}= \\ =\frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{3}-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}-4-2\sqrt{15}}{2·(-11)}= \\ =\frac{-\sqrt{5}+3\sqrt{3}-4-2\sqrt{15}}{-22}= \\ =\frac{-(\sqrt{5}-3\sqrt{3}+4+2\sqrt{15})}{-22}= \\ =\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{3}+4+2\sqrt{15}}{22} \end{gathered}$$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо последовательно домножать числитель и знаменатель на сопряженные выражения до тех пор, пока в знаменателе не останется рациональное число. Основной прием — использование формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Рассмотрим дробь:

$$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1} $$

Сгруппируем слагаемые в знаменателе следующим образом: $(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}$. Сопряженным к этому выражению будет $(\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$$ \frac{1 \cdot ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3})}{((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3})} $$

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов:

$$ ((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2} $$

Теперь дробь имеет вид:

$$ \frac{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $$

В знаменателе осталась иррациональность $\sqrt{2}$. Чтобы избавиться от нее, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$$ \frac{(\sqrt{2} + 1 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 1 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $$

Ответ: $$ \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $$

б) Решим второй пример по аналогии с первым.

Исходная дробь:

$$ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3} + 2} $$

Перегруппируем знаменатель, чтобы было удобно применить формулу разности квадратов: $(\sqrt{5} + 2) - \sqrt{3}$. Сопряженным к нему будет выражение $(\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$$ \frac{1 \cdot ((\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3})}{((\sqrt{5} + 2) - \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3})} $$

Упростим знаменатель:

$$ ((\sqrt{5} + 2) - \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3}) = (\sqrt{5} + 2)^2 - (\sqrt{3})^2 = (5 + 4\sqrt{5} + 4) - 3 = 9 + 4\sqrt{5} - 3 = 6 + 4\sqrt{5} $$

Дробь принимает вид:

$$ \frac{\sqrt{5} + 2 + \sqrt{3}}{6 + 4\sqrt{5}} $$

Теперь нужно избавиться от иррациональности в новом знаменателе $6 + 4\sqrt{5}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное ему выражение $6 - 4\sqrt{5}$:

$$ \frac{(\sqrt{5} + 2 + \sqrt{3}) \cdot (6 - 4\sqrt{5})}{(6 + 4\sqrt{5}) \cdot (6 - 4\sqrt{5})} $$

Вычислим новый знаменатель:

$$ (6 + 4\sqrt{5})(6 - 4\sqrt{5}) = 6^2 - (4\sqrt{5})^2 = 36 - 16 \cdot 5 = 36 - 80 = -44 $$

Вычислим новый числитель, перемножив скобки:

$$ (\sqrt{5} + 2 + \sqrt{3})(6 - 4\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} - 4(\sqrt{5})^2 + 12 - 8\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $$

$$ = 6\sqrt{5} - 20 + 12 - 8\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} = -8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $$

Соберем дробь:

$$ \frac{-8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15}}{-44} $$

Можно упростить полученное выражение, разделив числитель и знаменатель на -2:

$$ \frac{-2(4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15})}{-2 \cdot 22} = \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $$

Ответ: $$ \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $$