Номер 500, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 500, страница 113.

500. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{(y+b\sqrt{y})\sqrt{y}}{b\sqrt{y}·\sqrt{y}}=\frac{y\sqrt{y}+by}{by}=$

$=\frac{y(\sqrt{y}+b)}{by}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}$

б) $\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=$

$=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

в) $\frac{2-(\sqrt{2}-3)}{4\sqrt{2}}=\frac{(2-3\sqrt{2})\sqrt{2}}{4·\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}-3·2}{4·2}=$

$=\frac{2(\sqrt{2}-3)}{4·2}=\frac{\sqrt{2}-3}{4}$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} $, нужно умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение $ \sqrt{y} $. При этом будем считать, что $ y > 0 $ и $ b \neq 0 $ согласно области определения выражения.

Выполним умножение:

$ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(y + b\sqrt{y}) \cdot \sqrt{y}}{(b\sqrt{y}) \cdot \sqrt{y}} $

Раскроем скобки в числителе и упростим знаменатель:

$ \frac{y \cdot \sqrt{y} + b\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{b(\sqrt{y})^2} = \frac{y\sqrt{y} + by}{by} $

Вынесем в числителе общий множитель $ y $ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{y(\sqrt{y} + b)}{by} = \frac{\sqrt{y} + b}{b} $

Другой способ решения — почленное деление числителя на знаменатель. Так как $ y = (\sqrt{y})^2 $:

$ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{y}{b\sqrt{y}} + \frac{b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{y})^2}{b\sqrt{y}} + 1 = \frac{\sqrt{y}}{b} + 1 = \frac{\sqrt{y} + b}{b} $

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Знаменатель полученного выражения не содержит иррациональности.

Ответ: $ \frac{\sqrt{y} + b}{b} $.

б) Рассмотрим дробь $ \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} $. Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{ab} $. Предполагается, что $ a > 0 $ и $ b > 0 $.

Выполним умножение:

$ \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab}}{(\sqrt{ab}) \cdot \sqrt{ab}} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{ab})^2 = ab $

Упростим числитель, используя свойство $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $:

$ (a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab} = a\sqrt{b}\sqrt{ab} + b\sqrt{a}\sqrt{ab} = a\sqrt{ab^2} + b\sqrt{a^2b} = a(b\sqrt{a}) + b(a\sqrt{b}) = ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b} $

Получаем дробь:

$ \frac{ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b}}{ab} $

Вынесем в числителе общий множитель $ ab $ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{ab} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

В качестве альтернативного способа можно было разложить числитель на множители, учитывая, что $ a = (\sqrt{a})^2 $, $ b = (\sqrt{b})^2 $ и $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $:

$ a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $

Тогда исходная дробь легко сокращается:

$ \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

Ответ: $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $.

в) Дана дробь $ \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} $. Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.

Выполним преобразование:

$ \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{(2 - 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{(4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (2 - 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3 \cdot 2 = 2\sqrt{2} - 6 $

Упростим знаменатель:

$ 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $

Получим дробь:

$ \frac{2\sqrt{2} - 6}{8} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$ \frac{2(\sqrt{2} - 3)}{8} = \frac{\sqrt{2} - 3}{4} $

Знаменатель полученного выражения стал рациональным числом.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - 3}{4} $.