Номер 497, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 497, страница 113.

497. Сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{35·2}-\sqrt{15·2}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=$

$=\frac{\sqrt{35}·\sqrt{2}-\sqrt{15}·\sqrt{2}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{35}-\sqrt{15})}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\sqrt{2}$

б) $\frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5·3}-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{\sqrt{3·2}-\sqrt{5·2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}·\sqrt{3}-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{\sqrt{3}·\sqrt{2}-\sqrt{5}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}= \\ =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{2,5} \end{gathered}$$

в) $\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}=\frac{3·3-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}·\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{3·{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}(3\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3}-2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3}-2)}= \\ =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{1,5} \end{gathered}$$

г) $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{4}·\sqrt{3}+\sqrt{9}\sqrt{2}-\sqrt{2}·\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{2}·\sqrt{3}-\sqrt{2}}= \\ =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{4}+\sqrt{3}·\sqrt{2}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}= \\ =\frac{\sqrt{3}·\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

а) $\frac{\sqrt{70} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}}$

Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся общие множители из-под знаков корня.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{10}$:

$\sqrt{70} - \sqrt{30} = \sqrt{10 \cdot 7} - \sqrt{10 \cdot 3} = \sqrt{10}\sqrt{7} - \sqrt{10}\sqrt{3} = \sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{5}$:

$\sqrt{35} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}\sqrt{7} - \sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Представим число $5$ как $\sqrt{25}$ или $\sqrt{5}\sqrt{5}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{5}$:

$\sqrt{15} - 5 = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}\sqrt{3} - \sqrt{5}\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{2}$:

$\sqrt{6} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{3} - \sqrt{5})$:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Для приведения к стандартному виду избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

в) $\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}$

Для сокращения дроби необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $\sqrt{2}$:

$3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3 \cdot 2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)$.

Теперь преобразуем числитель. Попробуем выделить в нем множитель $(3\sqrt{3} - 2)$. Для этого представим $9$ как $3 \cdot 3 = \sqrt{3}\sqrt{3} \cdot 3$ и вынесем $\sqrt{3}$ за скобки:

$9 - 2\sqrt{3} = 3 \cdot 3 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)}$

Сократим общий множитель $(3\sqrt{3} - 2)$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

г) $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Попробуем найти связь между числителем и знаменателем. Заметим, что если умножить знаменатель на $\sqrt{3}$, то получится:

$\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{6} - \sqrt{3}\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + \sqrt{18} - \sqrt{6}$

Упростим полученное выражение, зная что $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$:

$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$

Это выражение в точности совпадает с числителем исходной дроби. Следовательно, числитель можно представить как произведение знаменателя на $\sqrt{3}$.

Запишем дробь, подставив это разложение в числитель:

$\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$, который не равен нулю:

$\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$