Номер 492, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 492, страница 112.

492. Докажите, что значение выражения есть число рациональное:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{3\sqrt{2}-5}-\frac{1}{3\sqrt{2}+5}=\frac{3\sqrt{2}+5-(3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)}= \\ =\frac{3\sqrt{2}+5-3\sqrt{2}+5}{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2-5^2}=\frac{10}{18-25}=\frac{10}{-7}=-1\frac{3}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{7+2\sqrt{6}}+\frac{1}{7-2\sqrt{6}}=\frac{7-2\sqrt{6}+7+2\sqrt{6}}{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})}= \\ =\frac{14}{7^2-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}=\frac{14}{49-24}=\frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0,56 \end{gathered}$$

а)

Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить его. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1}{3\sqrt{2}-5} - \frac{1}{3\sqrt{2}+5} $

Общим знаменателем является произведение знаменателей $ (3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5) $. Для его вычисления воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

$ (3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5) = (3\sqrt{2})^2 - 5^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 25 = 9 \cdot 2 - 25 = 18 - 25 = -7 $.

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (3\sqrt{2}+5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)} - \frac{1 \cdot (3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}+5)(3\sqrt{2}-5)} = \frac{(3\sqrt{2}+5) - (3\sqrt{2}-5)}{-7} $.

Упростим числитель:

$ \frac{3\sqrt{2}+5 - 3\sqrt{2}+5}{-7} = \frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} $.

Полученное число $ -\frac{10}{7} $ является отношением двух целых чисел, а значит, является рациональным числом.

Ответ: значение выражения равно $ -\frac{10}{7} $, что является рациональным числом.

б)

Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1}{7+2\sqrt{6}} + \frac{1}{7-2\sqrt{6}} $

Общий знаменатель равен $ (7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6}) $. Вычислим его по формуле разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6}) = 7^2 - (2\sqrt{6})^2 = 49 - 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 49 - 4 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 $.

Теперь выполним сложение дробей:

$ \frac{1 \cdot (7-2\sqrt{6})}{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})} + \frac{1 \cdot (7+2\sqrt{6})}{(7-2\sqrt{6})(7+2\sqrt{6})} = \frac{(7-2\sqrt{6}) + (7+2\sqrt{6})}{25} $.

Упростим числитель:

$ \frac{7-2\sqrt{6} + 7+2\sqrt{6}}{25} = \frac{14}{25} $.

Полученное число $ \frac{14}{25} $ является отношением двух целых чисел, следовательно, оно рациональное.

Ответ: значение выражения равно $ \frac{14}{25} $, что является рациональным числом.