Номер 490, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 490, страница 112.

490. Найдите значение выражения:

a) $x^2-6$

при $x=1+\sqrt{5};$${(1+\sqrt{5})}^2-6=1+2\sqrt{5}+5-6=2\sqrt{5}$

б) $x^2-6x$

при $x=3-\sqrt{3};$

$$\begin{gathered} {\left(3-\sqrt{3}\right)}^2-6\left(3-\sqrt{3}\right)=9-6\sqrt{3}+3-18+6\sqrt{3}= \\ =12-18=-6 \end{gathered}$$

в) $x^2-4x+3$

при $x=2+\sqrt{3};$

$$\begin{gathered} {\left(2+\sqrt{3}\right)}^2-4·(2+\sqrt{3})+3= \\ =4+4\sqrt{3}+3-8-4\sqrt{3}+3=-1+3=2 \end{gathered}$$

г) $x^2-3x+5$

при $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2};$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)}^2-3·\frac{3+\sqrt{2}}{2}+5=\frac{9+6\sqrt{2}+2}{4}- \\ -\frac{9+3\sqrt{2}}{2}+5=\frac{11+6\sqrt{2}-2(9+3\sqrt{2})}{4}+5= \\ =\frac{11+6\sqrt{2}-18-6\sqrt{2}+20}{4}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}=3,25 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6$ при $x = 1 + \sqrt{5}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 6 = (1 + \sqrt{5})^2 - 6$

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(1 + \sqrt{5})^2 - 6 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - 6 = (1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 6x = (3 - \sqrt{3})^2 - 6(3 - \sqrt{3})$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и раскроем скобки:

$(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (6 \cdot 3 - 6 \cdot \sqrt{3}) = (9 - 6\sqrt{3} + 3) - (18 - 6\sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3} - 18 + 6\sqrt{3} = (12 - 18) + (-6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) = -6$.

Ответ: $-6$.

в) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4x + 3$ при $x = 2 + \sqrt{3}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 4x + 3 = (2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 3$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и распределительный закон:

$(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (4 \cdot 2 + 4 \cdot \sqrt{3}) + 3 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - (8 + 4\sqrt{3}) + 3 = 7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 3 = (7 - 8 + 3) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = 2$.

Ответ: $2$.

г) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 3x + 5$ при $x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 3x + 5 = \left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right) + 5$

Возведем в квадрат дробь и раскроем скобки:

$\frac{(3+\sqrt{2})^2}{2^2} - \frac{3(3+\sqrt{2})}{2} + 5 = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4} - \frac{9+3\sqrt{2}}{2} + 5 = \frac{9 + 6\sqrt{2} + 2}{4} - \frac{9+3\sqrt{2}}{2} + 5 = \frac{11 + 6\sqrt{2}}{4} - \frac{9+3\sqrt{2}}{2} + 5$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 4:

$\frac{11 + 6\sqrt{2}}{4} - \frac{2(9+3\sqrt{2})}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4} = \frac{11 + 6\sqrt{2} - (18+6\sqrt{2}) + 20}{4} = \frac{11 + 6\sqrt{2} - 18 - 6\sqrt{2} + 20}{4} = \frac{11 - 18 + 20}{4} = \frac{13}{4}$.

Ответ: $\frac{13}{4}$.