Номер 489, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 489, страница 112.

489. Докажите, что:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \sqrt{6+4\sqrt{2}}=2+\sqrt{2} \\ \sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·2·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{{(2+\sqrt{2})}^2}=\left|2+\sqrt{2}\right|=2+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \sqrt{8\sqrt{3}+19}=\sqrt{3}+4 \\ \sqrt{8\sqrt{3}+19}=\sqrt{2·4·\sqrt{3}+4^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}= \\ =\sqrt{{(4+\sqrt{3})}^2}=\left|4+\sqrt{3}\right|=4+\sqrt{3} \end{gathered}$$

а) Для доказательства равенства $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$ преобразуем выражение, стоящее под знаком корня в левой части. Наша цель — представить его в виде полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 6$ и $2ab = 4\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{2}$. Попробуем подобрать значения. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, выполняется ли первое условие для этих значений: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 + 2 = 6$. Условие выполняется.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде квадрата суммы:

$6 + 4\sqrt{2} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 + \sqrt{2})^2$.

Теперь левая часть исходного равенства принимает вид:

$\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как $2 + \sqrt{2}$ — положительное число, то $|2 + \sqrt{2}| = 2 + \sqrt{2}$.

Таким образом, левая часть равна $2 + \sqrt{2}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4$ преобразуем подкоренное выражение в левой части. Запишем $8\sqrt{3} + 19$ в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $2ab = 8\sqrt{3}$ и $a^2 + b^2 = 19$.

Из первого уравнения получаем $ab = 4\sqrt{3}$. Попробуем подобрать значения. Пусть $a=4$ и $b=\sqrt{3}$.

Проверим, выполняется ли второе условие: $a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$. Условие выполняется.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде квадрата суммы (порядок слагаемых не важен):

$8\sqrt{3} + 19 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 4^2 = (\sqrt{3} + 4)^2$.

Теперь левая часть исходного равенства принимает вид:

$\sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{(\sqrt{3} + 4)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как $\sqrt{3} + 4$ — положительное число, то $|\sqrt{3} + 4| = \sqrt{3} + 4$.

Таким образом, левая часть равна $\sqrt{3} + 4$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.