Номер 483, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 483, страница 111.

483. Вынесите множитель из-под знака корня:

a) $$\begin{gathered} 0,5\sqrt{60a^2}=0,5\sqrt{4·15}·\sqrt{a^2}= \\ =0,5·2\sqrt{15}\left|a\right|=\left|a\right|\sqrt{15} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} 2,1\sqrt{300x^4}=2,1\sqrt{100·3}\sqrt{{\left(x^2\right)}^2}= \\ =2,1·10\sqrt{3}{x}^2=21x^2\sqrt{3} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} 0,1\sqrt{150x^3}=0,1\sqrt{25·6}\sqrt{x^2·x}= \\ =0,1·5\sqrt{6}·\left|x\right|\sqrt{x}=0,5x\sqrt{6x}, \end{gathered}$$

по условию $x^3\ge 0; x\ge 0$

г) $$\begin{gathered} 0,2\sqrt{225a^5}=0,2\sqrt{225}\sqrt{a^5}=0,2·15\sqrt{a^{4}a}= \\ =3\sqrt{{\left(a^2\right)}^2}\sqrt{a}=3a^2\sqrt{a}, a^5\ge 0; a\ge 0 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} a\sqrt{18a^{2}b}=a\sqrt{9·2}·\sqrt{a^2}·\sqrt{b}=a·3\sqrt{2}·\left|a\right|\sqrt{b}= \\ =\left|a\right|·3a\sqrt{2b}, a-\text{любое}, b\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}-m\sqrt{48a{m}^4}=-m\sqrt{16·3}·\sqrt{a}·\sqrt{{\left(m^2\right)}^2}= \\ =-m·4\sqrt{3}·\sqrt{a}·m^2=-4m^3\sqrt{3a}, a\ge 0, \\ m-\text{любое} \end{gathered}$$

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $0,5\sqrt{60a^2}$, разложим подкоренное выражение $60a^2$ на множители так, чтобы выделить полные квадраты.
Число 60 можно представить как $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$.
Множитель $a^2$ уже является полным квадратом.
Таким образом, $\sqrt{60a^2} = \sqrt{4 \cdot 15 \cdot a^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{15}$.
Используя свойство корня $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем: $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{a^2}=|a|$.
Следовательно, $\sqrt{60a^2} = 2|a|\sqrt{15}$.
Теперь умножим результат на коэффициент перед корнем:$0,5 \cdot 2|a|\sqrt{15} = 1 \cdot |a|\sqrt{15} = |a|\sqrt{15}$.
Ответ: $|a|\sqrt{15}$.

б) Рассмотрим выражение $2,1\sqrt{300x^4}$. Разложим подкоренное выражение $300x^4$ на множители.
Число 300 можно представить как $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$.
Множитель $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$.
Таким образом, $\sqrt{300x^4} = \sqrt{100 \cdot 3 \cdot (x^2)^2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{100}=10$ и $\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|=x^2$ (поскольку $x^2$ всегда неотрицательно), получаем:$\sqrt{300x^4} = 10x^2\sqrt{3}$.
Умножим на коэффициент $2,1$:$2,1 \cdot 10x^2\sqrt{3} = 21x^2\sqrt{3}$.
Ответ: $21x^2\sqrt{3}$.

в) В выражении $0,1\sqrt{150x^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $150x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Разложим $150x^3$ на множители, выделяя полные квадраты.
Число $150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$.
Переменную $x^3$ представим как $x^3 = x^2 \cdot x$.
Тогда $\sqrt{150x^3} = \sqrt{25 \cdot 6 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{6x}$.
Так как из условия $x \ge 0$, то $\sqrt{x^2}=x$. Получаем:$\sqrt{150x^3} = 5x\sqrt{6x}$.
Умножим на коэффициент $0,1$:$0,1 \cdot 5x\sqrt{6x} = 0,5x\sqrt{6x}$.
Ответ: $0,5x\sqrt{6x}$.

г) В выражении $0,2\sqrt{225a^5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $225a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.
Разложим $225a^5$ на множители.
Число $225$ является полным квадратом: $225 = 15^2$.
Переменную $a^5$ представим как $a^5 = a^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot a$.
Тогда $\sqrt{225a^5} = \sqrt{15^2 \cdot a^4 \cdot a} = \sqrt{15^2} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{a}$.
$\sqrt{15^2}=15$ и $\sqrt{a^4}=\sqrt{(a^2)^2}=a^2$. Получаем:$\sqrt{225a^5} = 15a^2\sqrt{a}$.
Умножим на коэффициент $0,2$:$0,2 \cdot 15a^2\sqrt{a} = 3a^2\sqrt{a}$.
Ответ: $3a^2\sqrt{a}$.

д) В выражении $a\sqrt{18a^2b}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $18a^2b \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, это условие сводится к $b \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение $18a^2b$ на множители.
Число $18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$.
Множитель $a^2$ уже является полным квадратом.
$\sqrt{18a^2b} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2b} = 3|a|\sqrt{2b}$.
Теперь умножим результат на множитель $a$ перед корнем:$a \cdot 3|a|\sqrt{2b} = 3a|a|\sqrt{2b}$.
Данное выражение является окончательным, но его можно расписать для разных знаков $a$:
1. Если $a \ge 0$, то $|a|=a$, и выражение равно $3a \cdot a \sqrt{2b} = 3a^2\sqrt{2b}$.
2. Если $a < 0$, то $|a|=-a$, и выражение равно $3a \cdot (-a) \sqrt{2b} = -3a^2\sqrt{2b}$.
Ответ: $3a|a|\sqrt{2b}$.

е) В выражении $-m\sqrt{48am^4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $48am^4 \ge 0$. Так как $m^4 \ge 0$ для любого $m$, это условие означает, что $a \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение $48am^4$ на множители.
Число $48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$.
Множитель $m^4$ является полным квадратом: $m^4 = (m^2)^2$.
$\sqrt{48am^4} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot a \cdot m^4} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{3a} = 4m^2\sqrt{3a}$.
Умножим результат на множитель $-m$ перед корнем:$-m \cdot 4m^2\sqrt{3a} = -4m^3\sqrt{3a}$.
Ответ: $-4m^3\sqrt{3a}$.