Номер 478, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 478, страница 110.

478. Постройте график функции, заданной формулой:

a) $y=\frac{\sqrt{x^2}}{x}; y=\frac{\left|x\right|}{x}$

если x>0, то $y=\frac{x}{x}; y=1$

если x<0, то $y=\frac{-x}{x}; y=-1$

Область определения функции: все числа, кроме 0

б) $y=\frac{-2\sqrt{x^2}}{x}; y=\frac{-2\left|x\right|}{x}$

если x>0, то $y=\frac{-2x}{x}; y=-2$

если x<0, то $y=\frac{2x}{x}; y=2$

Область определения функции: все числа, кроме 0

в) $y=x\sqrt{x^2}; y=x\left|x\right|$

если x≥0; $y=x^2$

если x<0; $y=-x^2$

Область определения: все числа

г) $y=-x\sqrt{x^2}; y=-x\left|x\right|$

если x≥0; то $y=-x^2$

если x<0; то $y=x^2$

Область определения функции: все числа

а) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$

Первым шагом упростим данную функцию. Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Для нашей функции это означает $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда функция примет вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): так как в знаменателе находится переменная $x$, она не может быть равна нулю. Таким образом, $x \neq 0$.

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x > 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x}{x} = 1$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x}{x} = -1$.

Итак, для построения графика нам нужно нарисовать два горизонтальных луча. Для всех положительных значений $x$ (справа от оси OY) график совпадает с прямой $y=1$. Для всех отрицательных значений $x$ (слева от оси OY) график совпадает с прямой $y=-1$. Так как $x=0$ не входит в область определения, на оси OY у графика будет разрыв. Концы лучей в точках, соответствующих $x=0$, будут "выколотыми", то есть не будут принадлежать графику.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух открытых лучей: луч $y=1$ для $x \in (0, +\infty)$ и луч $y=-1$ для $x \in (-\infty, 0)$.

б) $y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x}$

Упростим функцию, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Получим: $y = \frac{-2|x|}{x}$.

Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2x}{x} = -2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2(-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.

Следовательно, график этой функции также состоит из двух горизонтальных лучей. Для $x > 0$ это луч $y=-2$. Для $x < 0$ это луч $y=2$. В точке $x=0$ функция не определена, что на графике отображается разрывом.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух открытых лучей: луч $y=2$ для $x \in (-\infty, 0)$ и луч $y=-2$ для $x \in (0, +\infty)$.

в) $y = x\sqrt{x^2}$

Сначала упростим выражение для функции, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция примет вид: $y = x|x|$.

Область определения этой функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно, и нет деления на ноль. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция становится $y = x \cdot x = x^2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция становится $y = x \cdot (-x) = -x^2$.

Таким образом, график функции "сшит" из двух частей парабол. Для $x \ge 0$ (справа от оси OY, включая начало координат) это часть параболы $y=x^2$, ветви которой направлены вверх. Для $x < 0$ (слева от оси OY) это часть параболы $y=-x^2$, ветви которой направлены вниз. В точке $x=0$ обе части сходятся ($y(0)=0$), поэтому график является непрерывным.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей: ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.

г) $y = -x\sqrt{x^2}$

Упростим функцию, заменив $\sqrt{x^2}$ на $|x|$: $y = -x|x|$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot x = -x^2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot (-x) = x^2$.

График этой функции также состоит из двух частей парабол. Для $x \ge 0$ (справа от оси OY и в начале координат) это часть параболы $y=-x^2$, ветви которой направлены вниз. Для $x < 0$ (слева от оси OY) это часть параболы $y=x^2$, ветви которой направлены вверх. График непрерывен в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей: ветви параболы $y=x^2$ при $x < 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x \ge 0$.