Номер 485, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 485, страница 111.

485. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $$\begin{gathered} \frac{2}{3}\sqrt{72}=\frac{2}{3}·\sqrt{36·2}=\frac{2}{3}·6\sqrt{2}= \\ =4\sqrt{2}=\sqrt{16}·\sqrt{2}=\sqrt{32} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 7\sqrt{2}=\sqrt{49}·\sqrt{2}=\sqrt{49·2}=\sqrt{98} \\ \sqrt{30}; \sqrt{32}; \sqrt{98} \\ \sqrt{30}; \frac{2}{3}\sqrt{72}; 7\sqrt{2} \end{gathered}$$

б) $5\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{25}·\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{25·\frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{175}{2}}=\sqrt{87,5}$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\sqrt{62}=\sqrt{\frac{1}{4}}·\sqrt{62}=\sqrt{\frac{1}{4}·62}=\sqrt{15,5} \\ \sqrt{15,5}; \sqrt{17}; \sqrt{87,5} \\ \frac{1}{2}\sqrt{62}; \sqrt{17}; 5\sqrt{\frac{7}{2}} \end{gathered}$$

в) $8\sqrt{0,2}=\sqrt{64}·\sqrt{0,2}=\sqrt{64·0,2}=\sqrt{12,8}$

$$\begin{gathered} \frac{2}{5}\sqrt{250}=\sqrt{\frac{4}{25}}·\sqrt{250}=\sqrt{\frac{4}{25}·250}=\sqrt{4·10}=\sqrt{40} \\ \sqrt{12,8}; \sqrt{40}; \sqrt{41} \\ 8\sqrt{0,2}; \frac{2}{5}\sqrt{250}; \sqrt{41} \end{gathered}$$

г) $12\sqrt{0,5}=\sqrt{144}·\sqrt{0,5}=\sqrt{144·0,5}=\sqrt{72}$

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}\sqrt{160}=\sqrt{\frac{9}{16}}·\sqrt{160}=\sqrt{\frac{9}{16}·160}=\sqrt{9·10}=\sqrt{90} \\ \sqrt{72}; \sqrt{89}; \sqrt{90} \\ 12\sqrt{0,5}; \sqrt{89}; \frac{3}{4}\sqrt{160} \end{gathered}$$

a) Чтобы расположить числа $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Для этого представим каждое число в виде $\sqrt{A}$, внеся множитель под знак корня. Для положительных чисел верно, что чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня.

Преобразуем первое число: $\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.

Второе число уже представлено в нужном виде: $\sqrt{30}$.

Преобразуем третье число: $7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.

Теперь сравним полученные числа: $\sqrt{30}$, $\sqrt{32}$ и $\sqrt{98}$. Так как подкоренные выражения находятся в соотношении $30 < 32 < 98$, то и сами корни располагаются в том же порядке: $\sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{98}$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $\sqrt{30}$, $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $7\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

б) Сравним числа $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$, приведя их к виду $\sqrt{A}$.

Преобразуем первое число: $5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{87,5}$.

Второе число: $\sqrt{17}$.

Преобразуем третье число: $\frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 62} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 62} = \sqrt{\frac{62}{4}} = \sqrt{15,5}$.

Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{87,5}$, $\sqrt{17}$ и $\sqrt{15,5}$. Поскольку $15,5 < 17 < 87,5$, то $\sqrt{15,5} < \sqrt{17} < \sqrt{87,5}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\frac{1}{2}\sqrt{62}$, $\sqrt{17}$, $5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

в) Сравним числа $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$, приведя их к виду $\sqrt{A}$.

$8\sqrt{0,2} = \sqrt{8^2 \cdot 0,2} = \sqrt{64 \cdot 0,2} = \sqrt{12,8}$.

Число $\sqrt{41}$ уже в необходимой форме.

$\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot 250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{4 \cdot \frac{250}{25}} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.

Сравниваем числа $\sqrt{12,8}$, $\sqrt{40}$ и $\sqrt{41}$. Так как $12,8 < 40 < 41$, то $\sqrt{12,8} < \sqrt{40} < \sqrt{41}$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $8\sqrt{0,2}$, $\frac{2}{5}\sqrt{250}$, $\sqrt{41}$.

Ответ: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

г) Сравним числа $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$, приведя их к виду $\sqrt{A}$.

$12\sqrt{0,5} = \sqrt{12^2 \cdot 0,5} = \sqrt{144 \cdot 0,5} = \sqrt{72}$.

Число $\sqrt{89}$ уже в необходимой форме.

$\frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{9 \cdot \frac{160}{16}} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.

Сравниваем числа $\sqrt{72}$, $\sqrt{89}$ и $\sqrt{90}$. Так как $72 < 89 < 90$, то $\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$, $\frac{3}{4}\sqrt{160}$.

Ответ: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.