Номер 488, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 488, страница 112.

488. Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение:

a) $$\begin{gathered} x-4\sqrt{x-1}+3=x-1-2·2·\sqrt{x-1}+4= \\ ={\left(\sqrt{x-1}\right)}^2-2·2\sqrt{x-1}+2^2={(\sqrt{x-1}-2)}^2 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} y+2\sqrt{y+2}+3=y+2+2·1·\sqrt{y+2}+1= \\ ={\left(\sqrt{y+2}\right)}^2+2·1·\sqrt{y+2}+1^2={(\sqrt{y+2}+1)}^2 \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить выражение $x - 4\sqrt{x-1} + 3$ в виде квадрата разности, мы будем использовать формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Наша цель — найти такие $a$ и $b$, чтобы их квадраты и удвоенное произведение соответствовали членам исходного выражения.

Член с корнем $-4\sqrt{x-1}$ должен соответствовать члену $-2ab$. Отсюда $-2ab = -4\sqrt{x-1}$, или $ab = 2\sqrt{x-1}$.

Можно предположить, что в качестве $a$ и $b$ выступают $\sqrt{x-1}$ и $2$. Давайте проверим это предположение. Пусть $a = \sqrt{x-1}$ и $b=2$. Тогда:

• $a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1$
• $b^2 = 2^2 = 4$
• $2ab = 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 2 = 4\sqrt{x-1}$

Теперь преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Для этого представим $x$ как $(x-1)+1$ и $3$ как $4-1$. Или, что проще, сгруппируем члены иначе:

$x - 4\sqrt{x-1} + 3 = (x - 1) - 4\sqrt{x-1} + 4$

Теперь мы видим, что полученное выражение можно записать как:

$(\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1} + 2^2$

Это в точности соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2$ для $a=\sqrt{x-1}$ и $b=2$.

Следовательно, $x - 4\sqrt{x-1} + 3 = (\sqrt{x-1} - 2)^2$.

Ответ: $(\sqrt{x-1} - 2)^2$

б)

Чтобы представить выражение $y + 2\sqrt{y+2} + 3$ в виде квадрата суммы, мы будем использовать формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Наша цель — найти такие $a$ и $b$, чтобы их квадраты и удвоенное произведение соответствовали членам исходного выражения.

Член с корнем $2\sqrt{y+2}$ должен соответствовать члену $2ab$. Отсюда $2ab = 2\sqrt{y+2}$, или $ab = \sqrt{y+2}$.

Можно предположить, что в качестве $a$ и $b$ выступают $\sqrt{y+2}$ и $1$. Давайте проверим это предположение. Пусть $a = \sqrt{y+2}$ и $b=1$. Тогда:

• $a^2 = (\sqrt{y+2})^2 = y+2$
• $b^2 = 1^2 = 1$
• $2ab = 2 \cdot \sqrt{y+2} \cdot 1 = 2\sqrt{y+2}$

Теперь преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Для этого представим $y$ как $(y+2)-2$ и $3$ как $1+2$:

$y + 2\sqrt{y+2} + 3 = (y+2) + 2\sqrt{y+2} + 1$

Теперь мы видим, что полученное выражение можно записать как:

$(\sqrt{y+2})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{y+2} + 1^2$

Это в точности соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2$ для $a=\sqrt{y+2}$ и $b=1$.

Следовательно, $y + 2\sqrt{y+2} + 3 = (\sqrt{y+2} + 1)^2$.

Ответ: $(\sqrt{y+2} + 1)^2$