Номер 486, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 486, страница 112.

486. Выполните умножение:

a) $\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{b})=\sqrt{x}·\sqrt{a}-\sqrt{x}·\sqrt{b}=\sqrt{ax}-\sqrt{bx}$

б) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x}=\sqrt{x}\sqrt{x}+\sqrt{y}\sqrt{x}=x+\sqrt{xy}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\sqrt{ab}\sqrt{a}+\sqrt{ab}\sqrt{b}= \\ =a\sqrt{b}+b\sqrt{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)\sqrt{mn}=\sqrt{m}\sqrt{mn}-\sqrt{n}\sqrt{mn}= \\ =m\sqrt{n}-n\sqrt{m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(2\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)= \\ =\sqrt{x}·2\sqrt{x}-\sqrt{x}\sqrt{y}+2\sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{y}·\sqrt{y}= \\ =2x-\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}-y=2x+\sqrt{xy}-y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)= \\ =3\sqrt{a}\sqrt{a}+2\sqrt{a}\sqrt{b}-3\sqrt{a}\sqrt{b}-2\sqrt{b}\sqrt{b}= \\ =3a+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-2b=3a-\sqrt{ab}-2b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a}-2\sqrt{b}\right)= \\ =6\sqrt{a}\sqrt{a}-2\sqrt{a}2\sqrt{b}+3\sqrt{a}\sqrt{b}-2\sqrt{b}\sqrt{b}= \\ =6a-4\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-2b=6a-\sqrt{ab}-2b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\left(4\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)= \\ =4\sqrt{x}\sqrt{x}-4\sqrt{x}·\sqrt{2x}-\sqrt{x}·\sqrt{2x}+\sqrt{2x}\sqrt{2x}= \\ =4x-4x\sqrt{2}-x\sqrt{2}+2x=6x-5x\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения: $c(a-b) = ca - cb$. В данном случае $c=\sqrt{x}$, $a=\sqrt{a}$, $b=\sqrt{b}$.

$\sqrt{x}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{b}$

Используя свойство корней $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$, получаем:

$\sqrt{xa} - \sqrt{xb}$

Ответ: $\sqrt{ax} - \sqrt{bx}$.

б) Применим распределительное свойство умножения: $(a+b)c = ac + bc$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{y} \cdot \sqrt{x}$

Используя свойства корней $\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} = m$ и $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$, получаем:

$x + \sqrt{yx}$

Ответ: $x + \sqrt{xy}$.

в) Используем распределительное свойство умножения.

$\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{ab} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{ab} \cdot \sqrt{b}$

Применяем свойство $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$:

$\sqrt{ab \cdot a} + \sqrt{ab \cdot b} = \sqrt{a^2b} + \sqrt{ab^2}$

Выносим множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{k^2l} = |k|\sqrt{l}$. Так как по определению арифметического корня подкоренные выражения $a$ и $b$ неотрицательны, то $|a|=a$ и $|b|=b$:

$a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$

Ответ: $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$.

г) Раскрываем скобки, умножая каждый член в скобках на $\sqrt{mn}$.

$(\sqrt{m} - \sqrt{n})\sqrt{mn} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{mn} - \sqrt{n} \cdot \sqrt{mn}$

Используем свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$:

$\sqrt{m \cdot mn} - \sqrt{n \cdot mn} = \sqrt{m^2n} - \sqrt{mn^2}$

Выносим множители из-под знака корня (при $m, n \ge 0$):

$m\sqrt{n} - n\sqrt{m}$

Ответ: $m\sqrt{n} - n\sqrt{m}$.

д) Для умножения двух скобок воспользуемся правилом умножения многочленов: $(a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(2\sqrt{x} - \sqrt{y}) = \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot (-\sqrt{y}) + \sqrt{y} \cdot 2\sqrt{x} + \sqrt{y} \cdot (-\sqrt{y})$

Упростим полученное выражение:

$2(\sqrt{x})^2 - \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} - (\sqrt{y})^2$

Так как $(\sqrt{k})^2 = k$, получаем:

$2x - \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} - y$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + \sqrt{xy} - y$

Ответ: $2x + \sqrt{xy} - y$.

е) Умножим скобки по правилу умножения многочленов.

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) = \sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} - \sqrt{b} \cdot 3\sqrt{a} - \sqrt{b} \cdot 2\sqrt{b}$

Упрощаем каждый член выражения:

$3(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt{ab} - 2(\sqrt{b})^2$

$3a + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt{ab} - 2b$

Приводим подобные слагаемые:

$3a - \sqrt{ab} - 2b$

Ответ: $3a - \sqrt{ab} - 2b$.

ж) Перемножим скобки, используя правило умножения многочленов.

$(2\sqrt{a} + \sqrt{b})(3\sqrt{a} - 2\sqrt{b}) = (2\sqrt{a})(3\sqrt{a}) + (2\sqrt{a})(-2\sqrt{b}) + (\sqrt{b})(3\sqrt{a}) + (\sqrt{b})(-2\sqrt{b})$

Выполним умножение:

$6(\sqrt{a})^2 - 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} - 2(\sqrt{b})^2$

$6a - 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} - 2b$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$6a - \sqrt{ab} - 2b$

Ответ: $6a - \sqrt{ab} - 2b$.

з) Раскроем скобки, перемножая их содержимое.

$(4\sqrt{x} - \sqrt{2x})(\sqrt{x} - \sqrt{2x}) = 4\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 4\sqrt{x} \cdot (-\sqrt{2x}) - \sqrt{2x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{2x} \cdot (-\sqrt{2x})$

Упростим выражение:

$4(\sqrt{x})^2 - 4\sqrt{x \cdot 2x} - \sqrt{2x \cdot x} + (\sqrt{2x})^2$

$4x - 4\sqrt{2x^2} - \sqrt{2x^2} + 2x$

Вынесем $x$ из-под корня (при $x \ge 0$), $\sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$:

$4x - 4x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4x + 2x) + (-4x\sqrt{2} - x\sqrt{2}) = 6x - 5x\sqrt{2}$

Ответ: $6x - 5x\sqrt{2}$.