Номер 479, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 479, страница 111.

479. Постройте график функции y = |x|.

$y=\sqrt{\left|x\right|}$

Область определения функции: все числа

если x≥0, то $y=\sqrt{x}$

если x<0, то $y=\sqrt{-x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x|}$ рассмотрим ее свойства и разобьем задачу на несколько шагов.

1. Анализ функции.

Сначала определим область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $|x| \ge 0$. Модуль любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому это неравенство выполняется для всех $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Построение графика.

Благодаря свойству четности, достаточно построить график для неотрицательных значений $x$ (то есть для $x \ge 0$), а затем симметрично отразить его относительно оси OY, чтобы получить часть графика для отрицательных $x$.

При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и наша функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы, направленная вправо и вверх из начала координат.

Составим таблицу значений для нескольких точек этой части графика:

при $x = 0, y = \sqrt{0} = 0$ (точка $(0, 0)$)

при $x = 1, y = \sqrt{1} = 1$ (точка $(1, 1)$)

при $x = 4, y = \sqrt{4} = 2$ (точка $(4, 2)$)

при $x = 9, y = \sqrt{9} = 3$ (точка $(9, 3)$)

Строим эту ветвь в первой координатной четверти.

Теперь отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси OY. Точка $(1, 1)$ отразится в точку $(-1, 1)$, точка $(4, 2)$ — в $(-4, 2)$, точка $(9, 3)$ — в $(-9, 3)$, и так далее. Начало координат $(0, 0)$ останется на месте. Эта вторая ветвь является графиком функции $y = \sqrt{-x}$ при $x < 0$.

Соединив обе части, мы получаем итоговый график функции $y = \sqrt{|x|}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY и выходящих из начала координат $(0,0)$. Правая ветвь (при $x \ge 0$) совпадает с графиком функции $y=\sqrt{x}$, а левая ветвь (при $x < 0$) совпадает с графиком функции $y=\sqrt{-x}$.