Номер 475, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 475, страница 110.

475. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{4^3}=\sqrt{{\left(2^2\right)}^3}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}=2^3=8$

б) $\sqrt{9^5}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^5}=\sqrt{{\left(3^5\right)}^2}=3^5=243$

в) $\sqrt{{16}^5}=\sqrt{{\left(2^4\right)}^5}=\sqrt{2^{20}}=\sqrt{{\left(2^{10}\right)}^2}=2^{10}=1024$

г) $\sqrt{{25}^3}=\sqrt{{\left(5^2\right)}^3}=\sqrt{{\left(5^3\right)}^2}=5^3=125$

д) $$\begin{gathered} \sqrt{8·162}=\sqrt{8·2·81}=\sqrt{16·81}= \\ =\sqrt{16}·\sqrt{81}=4·9=36 \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} \sqrt{96·486}=\sqrt{16·6·81·6}=\sqrt{16·81·36}= \\ =\sqrt{16}·\sqrt{81}·\sqrt{36}=4·9·6=216 \end{gathered}$$

ж) $$\begin{gathered} \sqrt{750·270}=\sqrt{25·3·10·9·3·10}= \\ =\sqrt{25·81·100}=\sqrt{25}·\sqrt{81}·\sqrt{100}=5·9·10=450 \end{gathered}$$

з) $$\begin{gathered} \sqrt{194·776}=\sqrt{2·97·97·8}=\sqrt{{97}^2·16}= \\ =\sqrt{{97}^2}·\sqrt{16}=97·4=388 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{4^3}$ можно представить его как степень с рациональным показателем или вынести степень из-под знака корня. Воспользуемся свойством $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$ для $a \ge 0$:
$\sqrt{4^3} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
Другой способ — сначала возвести в степень, а затем извлечь корень:
$\sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:
$\sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243

в) Применим тот же подход, что и в пунктах а) и б):
$\sqrt{16^5} = (\sqrt{16})^5 = 4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$.
Ответ: 1024

г) Используем свойство $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:
$\sqrt{25^3} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125

д) Для вычисления корня из произведения $\sqrt{8 \cdot 162}$ разложим подкоренные числа на множители так, чтобы выделить полные квадраты.
$8 = 2 \cdot 4$
$162 = 2 \cdot 81$
Тогда выражение под корнем преобразуется к виду:
$8 \cdot 162 = (2 \cdot 4) \cdot (2 \cdot 81) = 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 81 = 4 \cdot 4 \cdot 81 = 16 \cdot 81$.
Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{16 \cdot 81} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

е) Разложим числа 96 и 486 на множители, чтобы упростить извлечение корня.
$96 = 16 \cdot 6$
$486 = 81 \cdot 6$
Подставим разложения в исходное выражение:
$\sqrt{96 \cdot 486} = \sqrt{(16 \cdot 6) \cdot (81 \cdot 6)} = \sqrt{16 \cdot 81 \cdot 6^2}$.
Теперь извлечем корень из произведения:
$\sqrt{16 \cdot 81 \cdot 6^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{6^2} = 4 \cdot 9 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

ж) Для вычисления $\sqrt{750 \cdot 270}$ разложим числа на удобные множители.
$750 = 75 \cdot 10 = (25 \cdot 3) \cdot 10$
$270 = 27 \cdot 10 = (9 \cdot 3) \cdot 10$
Сгруппируем множители под корнем:
$\sqrt{750 \cdot 270} = \sqrt{(25 \cdot 3 \cdot 10) \cdot (9 \cdot 3 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 3^2 \cdot 10^2}$.
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{10^2} = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 10 = 450$.
Ответ: 450

з) В выражении $\sqrt{194 \cdot 776}$ заметим, что второй множитель кратен первому.
$776 \div 194 = 4$.
Следовательно, $776 = 4 \cdot 194$.
Подставим это в выражение под корнем:
$\sqrt{194 \cdot 776} = \sqrt{194 \cdot (4 \cdot 194)} = \sqrt{194^2 \cdot 4}$.
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{194^2 \cdot 4} = \sqrt{194^2} \cdot \sqrt{4} = 194 \cdot 2 = 388$.
Ответ: 388