Номер 472, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 472, страница 110.

472. Известно, что a ‹ 0 и b ‹ 0. Представьте выражение:

а) ab в виде произведения корней;

б) ab в виде частного корней.

a<0, b<0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \sqrt{ab}=\sqrt{-a}·\sqrt{-b} \\ \mathbf{\text{б)}} \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} \end{gathered}$$

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{ab}$. По условию задачи $a < 0$ и $b < 0$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, то есть $ab > 0$. Следовательно, выражение $\sqrt{ab}$ определено в множестве действительных чисел.

Общее свойство корня из произведения, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, справедливо только для неотрицательных чисел ($x \ge 0$, $y \ge 0$). Поскольку $a$ и $b$ отрицательны, мы не можем применять это свойство напрямую. Нам нужно преобразовать выражение так, чтобы под знаками новых корней стояли неотрицательные числа.

Так как $a < 0$, то $-a > 0$. Аналогично, так как $b < 0$, то $-b > 0$.
Представим произведение $ab$ следующим образом:
$ab = (-1) \cdot (-a) \cdot (-1) \cdot (-b) = (-1)^2 \cdot (-a)(-b) = (-a)(-b)$.
Тогда исходное выражение можно переписать в виде:
$\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)}$.

Теперь, поскольку множители $-a$ и $-b$ являются положительными числами, мы можем применить свойство корня из произведения:
$\sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.
Это и есть искомое представление в виде произведения корней.

Ответ: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$. По условию $a < 0$ и $b < 0$. Частное двух отрицательных чисел является положительным числом, то есть $\frac{a}{b} > 0$. Следовательно, выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ определено в множестве действительных чисел.

Свойство корня из частного, $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$, справедливо для $x \ge 0$ и $y > 0$. Так как $a$ и $b$ отрицательны, мы не можем применить его напрямую.
Преобразуем подкоренное выражение. Умножим числитель и знаменатель дроби на $-1$, что не изменит значения дроби:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot (-1)}{b \cdot (-1)} = \frac{-a}{-b}$.

Тогда исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}}$.

Поскольку $-a > 0$ и $-b > 0$, мы можем применить свойство корня из частного для неотрицательных чисел:
$\sqrt{\frac{-a}{-b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$.
Это и есть искомое представление в виде частного корней.

Ответ: $\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$