Номер 470, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 470, страница 109.

470. Найдите значение корня:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{\frac{{165}^2-{124}^2}{164}}=\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}}= \\ =\sqrt{\frac{41·289}{164}}=\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}=8,5 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{\frac{98}{{176}^2-{112}^2}}=\sqrt{\frac{98}{(176-112)(176+112)}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{98}{64·288}}=\sqrt{\frac{49}{64·144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64·144}}= \\ =\frac{7}{\sqrt{64}·\sqrt{144}}=\frac{7}{8·12}=\frac{7}{96} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{\frac{{149}^2-{76}^2}{{459}^2-{384}^2}}=\sqrt{\frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}= \\ \sqrt{\frac{73·225}{73·841}}=\sqrt{\frac{225}{841}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}}=\frac{15}{29} \end{gathered}$$

г) $\sqrt{\frac{145,5^2-96,5^2}{193,5^2-31,5^2}}=\sqrt{\frac{(145,5-96,5)(145,5+96,5)}{(193,5-31,5)(193,5+31,5)}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{49·242}{162·225}}=\sqrt{\frac{49·121}{81·225}}=\frac{\sqrt{49·121}}{\sqrt{81·225}}= \\ =\frac{\sqrt{49}·\sqrt{121}}{\sqrt{81}·\sqrt{225}}=\frac{7·11}{9·15}=\frac{77}{135} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение корня, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в числителе подкоренного выражения.
$\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 - 124)(165 + 124)}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}}$
Теперь сократим дробь, заметив, что $164 = 4 \cdot 41$.
$\sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}}$
Извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5$
Ответ: $8,5$

б) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в знаменателе подкоренного выражения.
$\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 - 112)(176 + 112)}} = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}}$
Упростим дробь под корнем. Разложим числитель и знаменатель на множители: $98 = 2 \cdot 49$ и $288 = 2 \cdot 144$.
$\sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot (2 \cdot 144)}} = \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}}$
Извлечем квадратный корень:
$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64 \cdot 144}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = \frac{7}{8 \cdot 12} = \frac{7}{96}$
Ответ: $\frac{7}{96}$

в) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражениям в числителе и знаменателе.
Числитель: $149^2 - 76^2 = (149 - 76)(149 + 76) = 73 \cdot 225$.
Знаменатель: $457^2 - 384^2 = (457 - 384)(457 + 384) = 73 \cdot 841$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}} = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}}$
Сократим дробь на общий множитель 73:
$\sqrt{\frac{225}{841}}$
Извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя ($ \sqrt{225} = 15 $ и $ \sqrt{841} = 29 $):
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}} = \frac{15}{29}$
Ответ: $\frac{15}{29}$

г) Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю и знаменателю.
Числитель: $145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242$.
Знаменатель: $193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225$.
Подставим эти значения в выражение:
$\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}}$
Упростим дробь, разложив $242 = 2 \cdot 121$ и $162 = 2 \cdot 81$, и сократим на 2:
$\sqrt{\frac{49 \cdot (2 \cdot 121)}{(2 \cdot 81) \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}}$
Извлечем квадратный корень:
$\frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}$
Ответ: $\frac{77}{135}$