Номер 463, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 463, страница 108.

463. При каких значениях а и b имеет смысл выражение:

a) $\sqrt{ab};$ ab≥0; a≥0 и b≥0 или a≤0; b≤0

Ответ: при a≥0 и b≥0 или при a≤0 и b≤0

б) $\sqrt{-ab};$ -ab≥0; ab≤0; a≥0 и b≤0 или a≤0 и b≥0

Ответ: при a≥0 и b≤0 или при a≤0 и b≥0

в) $\sqrt{a^{2}b}; a^{2}b\ge 0; a^2\ge 0$ при любых a и b≥0

Ответ: при b≥0 и a - любое число

г) $\sqrt{a^2{b}^2}; a^2{b}^2\ge 0$ при a и b - любых

Ответ: при любых a и b

д) $\sqrt{-a{b}^2}; -a{b}^2\ge 0 a{b}^2\le 0$

$b^2\ge 0$ при любых b, a≤0

Ответ: при a≤0 и любых b

е) $\sqrt{-a^2{b}^2}; -a^2{b}^2\ge 0; a^2{b}^2\le 0$

при a=0 и любых b или

при b=0 и любых a

Ответ: при a=0 и любых b или при b=0 и любых a

Основное правило, которое определяет, имеет ли смысл выражение с квадратным корнем, заключается в том, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Для выражения вида $\sqrt{X}$ должно выполняться условие $X \ge 0$.

а) Для выражения $\sqrt{ab}$ подкоренное выражение равно $ab$.

Условие: $ab \ge 0$.

Произведение двух сомножителей неотрицательно в двух случаях: либо оба сомножителя неотрицательны, либо оба не положительны.

1. $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

2. $a \le 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или равны нулю ($a \ge 0, b \ge 0$ или $a \le 0, b \le 0$).

б) Для выражения $\sqrt{-ab}$ подкоренное выражение равно $-ab$.

Условие: $-ab \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный: $ab \le 0$.

Произведение двух сомножителей не положительно, если они имеют разные знаки (или один из них равен нулю).

1. $a \ge 0$ и $b \le 0$.

2. $a \le 0$ и $b \ge 0$.

Ответ: $a$ и $b$ имеют разные знаки или один из них равен нулю ($a \ge 0, b \le 0$ или $a \le 0, b \ge 0$).

в) Для выражения $\sqrt{a^2b}$ подкоренное выражение равно $a^2b$.

Условие: $a^2b \ge 0$.

Множитель $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$) для любого действительного $a$.

Если $a=0$, то $0 \cdot b \ge 0$, то есть $0 \ge 0$, что верно для любого $b$.

Если $a \neq 0$, то $a^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $a^2b$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $b \ge 0$.

Объединяя эти условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $b \ge 0$ (при любом $a$) или если $a=0$ (при любом $b$).

Ответ: $b \ge 0$ или $a = 0$.

г) Для выражения $\sqrt{a^2b^2}$ подкоренное выражение равно $a^2b^2$.

Условие: $a^2b^2 \ge 0$.

Это выражение можно записать как $(ab)^2$. Неравенство принимает вид $(ab)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом. Следовательно, это неравенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

д) Для выражения $\sqrt{-ab^2}$ подкоренное выражение равно $-ab^2$.

Условие: $-ab^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$, изменив знак: $ab^2 \le 0$.

Множитель $b^2$ всегда неотрицателен ($b^2 \ge 0$) для любого действительного $b$.

Если $b=0$, то $a \cdot 0 \le 0$, то есть $0 \le 0$, что верно для любого $a$.

Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. Чтобы произведение $ab^2$ было не положительным, необходимо, чтобы $a \le 0$.

Объединяя условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $a \le 0$ (при любом $b$) или если $b=0$ (при любом $a$).

Ответ: $a \le 0$ или $b = 0$.

е) Для выражения $\sqrt{-a^2b^2}$ подкоренное выражение равно $-a^2b^2$.

Условие: $-a^2b^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$: $a^2b^2 \le 0$, или $(ab)^2 \le 0$.

С другой стороны, мы знаем, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(ab)^2 \ge 0$.

Единственное число, которое одновременно и не положительно, и неотрицательно, — это нуль. Следовательно, должно выполняться равенство $(ab)^2=0$.

Это означает, что $ab=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Ответ: $a=0$ или $b=0$.