Номер 459, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 459, страница 108.

459. Решите уравнение 1 + 2 + x = 2.

$$\begin{gathered} \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=2 \\ 1+\sqrt{2+\sqrt{x}}=4 \\ \sqrt{2+\sqrt{x}}=3 \\ 2+\sqrt{x}=9 \\ \sqrt{x}=7 \\ x=49 \end{gathered}$$

Ответ: 49

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$.

Для решения этого уравнения необходимо последовательно избавляться от квадратных корней путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

1. $x \ge 0$.

2. $2 + \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, это выражение всегда будет больше или равно 2, поэтому условие $2 + \sqrt{x} \ge 0$ выполняется для всех $x \ge 0$.

3. $1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}$. Аналогично, это выражение всегда будет положительным.

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

Приступим к решению. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, чтобы уединить радикал:

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 1$

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 3$

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 3^2$

$2 + \sqrt{x} = 9$

Перенесем 2 в правую часть:

$\sqrt{x} = 9 - 2$

$\sqrt{x} = 7$

И в последний раз возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$(\sqrt{x})^2 = 7^2$

$x = 49$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x \ge 0$ выполняется, так как $49 \ge 0$.

Выполним проверку, подставив найденное значение $x = 49$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{49}}} = \sqrt{1 + \sqrt{2 + 7}} = \sqrt{1 + \sqrt{9}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 49.