Номер 453, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 453, страница 107.

453. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

a) $\frac{23}{64}=0,359375 \left(0\right)$

б) $-\frac{7}{25}=-\frac{28}{100}=-0,28 \left(0\right)$

 

в) $\frac{11}{13}=0,\left(846153\right)$

г) $\frac{1}{27}=0,\left(037\right)$

д) $\frac{2}{35}=0,0\left(571428\right)$

е) $-\frac{7}{22}=-0,3\left(18\right)$

ж) $\frac{23}{30}=0,7\left(6\right)$

з) $\frac{12}{55}=0,2\left(18\right)$

а) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель.
Рассмотрим дробь $ \frac{23}{64} $. Знаменатель дроби $ 64 = 2^6 $. Так как в разложении знаменателя на простые множители присутствует только множитель 2, данная дробь является конечной десятичной дробью.
Выполним деление:
$ 23 \div 64 = 0.359375 $.
Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной периодической дроби, добавив в периоде ноль.
$ \frac{23}{64} = 0.359375 = 0.359375000... = 0.359375(0) $.
Ответ: $0.359375(0)$.

б) Рассмотрим дробь $ -\frac{7}{25} $. Сначала найдем десятичное представление для $ \frac{7}{25} $.
Знаменатель дроби $ 25 = 5^2 $. Так как в разложении знаменателя на простые множители присутствует только множитель 5, эта дробь также является конечной десятичной.
$ \frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0.28 $.
Соответственно, $ -\frac{7}{25} = -0.28 $.
Запишем в виде бесконечной периодической дроби:
$ -0.28 = -0.28000... = -0.28(0) $.
Ответ: $-0.28(0)$.

в) Для дроби $ \frac{11}{13} $ выполним деление столбиком.
$ 11 \div 13 = 0.846153846153... $
В процессе деления остатки последовательно равны: 6, 8, 2, 7, 5, 11. Как только остаток снова становится равен 11, частное начинает повторяться. Таким образом, период дроби состоит из шести цифр.
$ \frac{11}{13} = 0.(846153) $.
Ответ: $0.(846153)$.

г) Для дроби $ \frac{1}{27} $ выполним деление столбиком.
$ 1 \div 27 = 0.037037... $
Выполняем деление:
$ 10 \div 27 = 0 $ (остаток 10)
$ 100 \div 27 = 3 $ (остаток 19)
$ 190 \div 27 = 7 $ (остаток 1)
Остаток 1 совпал с исходным числителем, поэтому последовательность цифр в частном начинает повторяться.
$ \frac{1}{27} = 0.(037) $.
Ответ: $0.(037)$.

д) Для дроби $ \frac{2}{35} $ выполним деление столбиком.
$ 2 \div 35 = 0.0571428571428... $
Этапы деления:
$ 20 \div 35 \rightarrow 0 $ (остаток 20)
$ 200 \div 35 \rightarrow 5 $ (остаток 25)
$ 250 \div 35 \rightarrow 7 $ (остаток 5)
$ 50 \div 35 \rightarrow 1 $ (остаток 15)
$ 150 \div 35 \rightarrow 4 $ (остаток 10)
$ 100 \div 35 \rightarrow 2 $ (остаток 30)
$ 300 \div 35 \rightarrow 8 $ (остаток 20)
Остаток 20 повторился, значит, группа цифр 571428 будет повторяться. Первая цифра после запятой (0) не входит в период.
$ \frac{2}{35} = 0.0(571428) $.
Ответ: $0.0(571428)$.

е) Для дроби $ -\frac{7}{22} $ сначала найдем представление для $ \frac{7}{22} $, разделив 7 на 22 столбиком.
$ 7 \div 22 = 0.3181818... $
Этапы деления:
$ 70 \div 22 \rightarrow 3 $ (остаток 4)
$ 40 \div 22 \rightarrow 1 $ (остаток 18)
$ 180 \div 22 \rightarrow 8 $ (остаток 4)
Остаток 4 повторился, значит, последующие цифры частного (18) будут повторяться. Цифра 3 не входит в период.
$ \frac{7}{22} = 0.3(18) $.
Следовательно, $ -\frac{7}{22} = -0.3(18) $.
Ответ: $-0.3(18)$.

ж) Для дроби $ \frac{23}{30} $ выполним деление столбиком.
$ 23 \div 30 = 0.7666... $
Этапы деления:
$ 230 \div 30 \rightarrow 7 $ (остаток 20)
$ 200 \div 30 \rightarrow 6 $ (остаток 20)
Остаток 20 повторяется, значит, цифра 6 будет повторяться.
$ \frac{23}{30} = 0.7(6) $.
Ответ: $0.7(6)$.

з) Для дроби $ \frac{12}{55} $ выполним деление столбиком.
$ 12 \div 55 = 0.2181818... $
Этапы деления:
$ 120 \div 55 \rightarrow 2 $ (остаток 10)
$ 100 \div 55 \rightarrow 1 $ (остаток 45)
$ 450 \div 55 \rightarrow 8 $ (остаток 10)
Остаток 10 повторился, значит, группа цифр 18 будет повторяться. Цифра 2 не входит в период.
$ \frac{12}{55} = 0.2(18) $.
Ответ: $0.2(18)$.