Номер 447, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 447, страница 107.

447. Известно, что числа а и b натуральные. Является ли натуральным число:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }a\in N, b\in N \\ a+b\in N \end{gathered}$$

Ответ: да

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }a-b\in N, \text{если }a>b \\ a-b\notin N, \text{если }a<b \end{gathered}$$

Ответ: не всегда

$\mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }ab\in N$

Ответ: да

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{a}{b}\in N, \text{если }a \text{кратно }b \\ \frac{a}{b}\notin N, \text{если }a \text{не кратно }b \end{gathered}$$

Ответ: не всегда

В этой задаче мы исходим из стандартного определения натуральных чисел, как множества чисел, используемых при счете: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Число 0 не является натуральным числом. Даны два натуральных числа $a$ и $b$, то есть $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$.

а) $a + b$

Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Это свойство называется замкнутостью множества натуральных чисел относительно операции сложения. Так как наименьшее натуральное число – это 1, то наименьшая возможная сумма двух натуральных чисел будет $1 + 1 = 2$. Любая другая сумма будет больше. Поскольку результат всегда является целым числом, большим или равным 2, он всегда будет натуральным числом. Например, если взять $a = 15$ и $b = 32$, то их сумма $a + b = 15 + 32 = 47$, что является натуральным числом.

Ответ: Да, всегда является натуральным числом.

б) $a - b$

Разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Чтобы доказать это, достаточно привести хотя бы один пример, где результат не является натуральным. Рассмотрим несколько случаев:

• Если $a > b$, то разность $a - b$ будет натуральным числом. Например, при $a = 10$, $b = 3$, получаем $a - b = 10 - 3 = 7$. Число 7 – натуральное.
• Если $a = b$, то разность $a - b$ будет равна нулю. Например, при $a = 5$, $b = 5$, получаем $a - b = 5 - 5 = 0$. Ноль не является натуральным числом.
• Если $a < b$, то разность $a - b$ будет отрицательным целым числом. Например, при $a = 4$, $b = 9$, получаем $a - b = 4 - 9 = -5$. Отрицательные числа не являются натуральными.

Поскольку существуют случаи, когда результат не является натуральным числом, общее утверждение неверно.

Ответ: Нет, не всегда.

в) $ab$

Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Это свойство называется замкнутостью множества натуральных чисел относительно операции умножения. Поскольку $a \ge 1$ и $b \ge 1$, их произведение $ab$ всегда будет не меньше, чем $1 \cdot 1 = 1$. Результат всегда будет целым и положительным, а значит, и натуральным. Например, если $a = 7$ и $b = 8$, то их произведение $ab = 7 \cdot 8 = 56$, что является натуральным числом.

Ответ: Да, всегда является натуральным числом.

г) $\frac{a}{b}$

Частное от деления одного натурального числа на другое не всегда является натуральным числом. Рассмотрим примеры:

• Если число $a$ делится на число $b$ нацело (т.е. $a$ кратно $b$), то результат будет натуральным числом. Например, при $a = 20$, $b = 4$, получаем $\frac{a}{b} = \frac{20}{4} = 5$. Число 5 – натуральное.
• Если число $a$ не делится на число $b$ нацело, то результат будет дробным (рациональным) числом, а не натуральным. Например, при $a = 2$, $b = 3$, получаем $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$. Это число не является натуральным.

Поскольку существует случай, когда результат не является натуральным, общее утверждение неверно.

Ответ: Нет, не всегда.