Номер 445, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 445, страница 106.

445. Упростите выражение:

a) $\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{b+1-2\sqrt{b}}{2}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{b+1+2\sqrt{b}}{2}}=\sqrt{\frac{{(\sqrt{b}-1)}^2}{2}}-\sqrt{\frac{{(\sqrt{b}+1)}^2}{2}}= \\ =\frac{\sqrt{{(\sqrt{b}-1)}^2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{{(\sqrt{b}+1)}^2}}{\sqrt{2}}= \\ =\frac{\left|\sqrt{b}-1\right|-\left|\sqrt{b}+1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{b}-1-\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}= \\ =\frac{-2\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}, \text{где} b\ge 1 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{c+4+4\sqrt{c}}{4}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{c+4-4\sqrt{c}}{4}}=\sqrt{\frac{{(\sqrt{c}+2)}^2}{4}}-\sqrt{\frac{{(\sqrt{c}-2)}^2}{4}}= \\ =\frac{\sqrt{{(\sqrt{c}+2)}^2}}{\sqrt{4}}-\frac{\sqrt{{(\sqrt{c}-2)}^2}}{\sqrt{4}}= \\ =\frac{\left|\sqrt{c}+2\right|}{2}-\frac{\left|\sqrt{c}-2\right|}{2}=\frac{\sqrt{c}+2-(\sqrt{c}-2)}{2}= \\ =\frac{\sqrt{c}+2-\sqrt{c}+2}{2}=\frac{4}{2}=2, \text{где} c\ge 4 \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b}} - \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}} $ при $ b \ge 1 $ преобразуем выражения под знаками корня, чтобы выделить полные квадраты.

Рассмотрим первое подкоренное выражение:$ \frac{b+1}{2} - \sqrt{b} = \frac{b+1-2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 2\cdot\sqrt{b}\cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2} $.Тогда первый член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{b}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{b}-1|}{\sqrt{2}} $.Согласно условию $ b \ge 1 $, имеем $ \sqrt{b} \ge 1 $, что означает $ \sqrt{b}-1 \ge 0 $. Следовательно, модуль можно раскрыть со знаком плюс: $ |\sqrt{b}-1| = \sqrt{b}-1 $.Таким образом, первый член равен $ \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} $.

Рассмотрим второе подкоренное выражение:$ \frac{b+1}{2} + \sqrt{b} = \frac{b+1+2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 + 2\cdot\sqrt{b}\cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2} $.Тогда второй член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{b}+1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{b}+1|}{\sqrt{2}} $.Поскольку $ b \ge 1 $, $ \sqrt{b} $ является положительным числом, и $ \sqrt{b}+1 > 0 $. Следовательно, $ |\sqrt{b}+1| = \sqrt{b}+1 $.Таким образом, второй член равен $ \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}} $.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:$ \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{b}-1) - (\sqrt{b}+1)}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{b}-1-\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} $.Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:$ \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: $ -\sqrt{2} $

б) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} - \sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c}} $ при $ c \ge 4 $ также преобразуем подкоренные выражения.

Рассмотрим первое подкоренное выражение:$ \frac{c+4}{4} + \sqrt{c} = \frac{c+4+4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 + 2\cdot\sqrt{c}\cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4} $.Тогда первый член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{c}+2)^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|\sqrt{c}+2|}{2} $.Поскольку $ c \ge 4 $, $ \sqrt{c} \ge 2 $, и выражение $ \sqrt{c}+2 $ всегда положительно. Следовательно, $ |\sqrt{c}+2| = \sqrt{c}+2 $.Таким образом, первый член равен $ \frac{\sqrt{c}+2}{2} $.

Рассмотрим второе подкоренное выражение:$ \frac{c+4}{4} - \sqrt{c} = \frac{c+4-4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 - 2\cdot\sqrt{c}\cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4} $.Тогда второй член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{c}-2)^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|\sqrt{c}-2|}{2} $.Согласно условию $ c \ge 4 $, имеем $ \sqrt{c} \ge \sqrt{4} = 2 $, что означает $ \sqrt{c}-2 \ge 0 $. Следовательно, $ |\sqrt{c}-2| = \sqrt{c}-2 $.Таким образом, второй член равен $ \frac{\sqrt{c}-2}{2} $.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:$ \frac{\sqrt{c}+2}{2} - \frac{\sqrt{c}-2}{2} = \frac{(\sqrt{c}+2) - (\sqrt{c}-2)}{2} = \frac{\sqrt{c}+2-\sqrt{c}+2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

Ответ: $ 2 $