Номер 443, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 443, страница 106.

443. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}·\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})·(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{4-{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^2}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{4-(2+\sqrt{3})}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{4-2-\sqrt{3}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{2-\sqrt{3}}= \\ =\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\sqrt{4-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4-3}=1 \end{gathered}$$

Для нахождения значения выражения будем последовательно его упрощать. Исходное выражение:

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} $$

Сначала рассмотрим произведение двух последних множителей. Используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, объединим их под одним знаком корня:

$$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})} $$

Выражение в скобках под корнем соответствует формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=2$ и $y=\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Применим эту формулу для упрощения:

$$ \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2-\sqrt{3}} $$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение. Оно примет вид:

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} $$

Снова применим те же правила: объединим множители под одним корнем и используем формулу разности квадратов, где на этот раз $x=2$ и $y=\sqrt{3}$:

$$ \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 $$

Таким образом, значение исходного выражения равно 1.

Ответ: 1