Номер 441, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 441, страница 106.

441. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:

a) $\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{1^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2·2\sqrt{3}}- \\ -\sqrt{1^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2·2\sqrt{3}}=\sqrt{{(2\sqrt{3}+1)}^2}- \\ -\sqrt{{(2\sqrt{3}-1)}^2}=\left|2\sqrt{3}+1\right|-\left|2\sqrt{3}-1\right|= \\ =2\sqrt{3}+1-(2\sqrt{3}-1)= \\ =2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}+1=2 -\text{рациональное число} \end{gathered}$$

б) $\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{\left(\sqrt{17}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2·\sqrt{17}·\sqrt{2}}+ \\ +\sqrt{{\left(\sqrt{17}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{17}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{17}-\sqrt{2})}^2}+\sqrt{{(\sqrt{17}+\sqrt{2})}^2}= \\ =\left|\sqrt{17}-\sqrt{2}\right|+\left|\sqrt{17}+\sqrt{2}\right|= \\ =\sqrt{17}-\sqrt{2}+\sqrt{17}+\sqrt{2}= \\ =2\sqrt{17} - \text{иррациональное число} \end{gathered}$$

а)

Чтобы определить, является ли значение выражения $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$ рациональным или иррациональным, обозначим это выражение через X.

$X = \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$

Прежде всего, убедимся, что выражения под корнями неотрицательны. $13 + 4\sqrt{3}$ очевидно положительно. Для второго выражения: $13 - 4\sqrt{3} = 13 - \sqrt{16 \cdot 3} = 13 - \sqrt{48}$. Так как $13^2=169$, а $(\sqrt{48})^2=48$, то $13 > \sqrt{48}$, следовательно $13 - 4\sqrt{3} > 0$.

Поскольку $13+4\sqrt{3} > 13-4\sqrt{3}$, то и $\sqrt{13+4\sqrt{3}} > \sqrt{13-4\sqrt{3}}$, а значит значение X является положительным числом.

Возведем выражение X в квадрат, чтобы избавиться от внешних корней. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$X^2 = (\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}})^2$

$X^2 = (\sqrt{13 + 4\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} + (\sqrt{13 - 4\sqrt{3}})^2$

$X^2 = (13 + 4\sqrt{3}) - 2\sqrt{(13 + 4\sqrt{3})(13 - 4\sqrt{3})} + (13 - 4\sqrt{3})$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ для выражения под корнем:

$X^2 = (13+13) + (4\sqrt{3}-4\sqrt{3}) - 2\sqrt{13^2 - (4\sqrt{3})^2}$

$X^2 = 26 - 2\sqrt{169 - 16 \cdot 3}$

$X^2 = 26 - 2\sqrt{169 - 48}$

$X^2 = 26 - 2\sqrt{121}$

$X^2 = 26 - 2 \cdot 11$

$X^2 = 26 - 22 = 4$

Мы получили, что $X^2 = 4$. Так как мы установили, что X > 0, то X является положительным квадратным корнем из 4.

$X = \sqrt{4} = 2$

Число 2 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: значение выражения является рациональным числом.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}$. Обозначим его через Y.

$Y = \sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}$

Убедимся, что подкоренные выражения неотрицательны. $19 + 2\sqrt{34}$ очевидно положительно. Для первого выражения: $19 - 2\sqrt{34} = 19 - \sqrt{4 \cdot 34} = 19 - \sqrt{136}$. Так как $19^2=361$, а $(\sqrt{136})^2=136$, то $19 > \sqrt{136}$, следовательно $19 - 2\sqrt{34} > 0$.

Значение Y является суммой двух положительных чисел, поэтому Y > 0.

Возведем выражение Y в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$Y^2 = (\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}})^2$

$Y^2 = (\sqrt{19 - 2\sqrt{34}})^2 + 2 \cdot \sqrt{19 - 2\sqrt{34}} \cdot \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} + (\sqrt{19 + 2\sqrt{34}})^2$

$Y^2 = (19 - 2\sqrt{34}) + 2\sqrt{(19 - 2\sqrt{34})(19 + 2\sqrt{34})} + (19 + 2\sqrt{34})$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:

$Y^2 = (19+19) + (2\sqrt{34}-2\sqrt{34}) + 2\sqrt{19^2 - (2\sqrt{34})^2}$

$Y^2 = 38 + 2\sqrt{361 - 4 \cdot 34}$

$Y^2 = 38 + 2\sqrt{361 - 136}$

$Y^2 = 38 + 2\sqrt{225}$

$Y^2 = 38 + 2 \cdot 15$

$Y^2 = 38 + 30 = 68$

Мы получили, что $Y^2 = 68$. Так как Y > 0, то Y является положительным квадратным корнем из 68.

$Y = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$

Число $\sqrt{17}$ является иррациональным, так как 17 — это простое число, и оно не является квадратом целого числа. Произведение ненулевого рационального числа (2) на иррациональное число ($\sqrt{17}$) является иррациональным числом. Следовательно, значение выражения Y иррационально.

Ответ: значение выражения является иррациональным числом.