Номер 446, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 446, страница 106.

446. Освободитесь от внешнего радикала в выражении:

a) $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{a-1}\right)}^2+2·1·\sqrt{a-1}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{(1+\sqrt{a-1})}^2}=\left|1+\sqrt{a-1}\right|= \\ =1+\sqrt{a-1} \text{при} a\ge 1 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{(\sqrt{a+b}+1)}^2}-\sqrt{{(\sqrt{a+b}-1)}^2}= \\ =\left|\sqrt{a+b}+1\right|-\left|\sqrt{a+b}-1\right|= \\ =\sqrt{a+b}+1-\sqrt{a+b}+1=2 \text{при} a+b\ge 1 \end{gathered}$$

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}$ при условии $a \ge 1$.

Чтобы избавиться от внешнего радикала, необходимо представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.

Преобразуем подкоренное выражение $a + 2\sqrt{a-1}$, представив $a$ в виде суммы $(a-1)+1$:

$a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 + 2\sqrt{a-1}$

Теперь это выражение можно сгруппировать как полный квадрат:

$(a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} + 1)^2$

Подставим полученный квадрат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2}$

Согласно свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{z^2} = |z|$, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2} = |\sqrt{a-1} + 1|$

По условию $a \ge 1$, следовательно $a-1 \ge 0$, и корень $\sqrt{a-1}$ является действительным неотрицательным числом. Значит, сумма $\sqrt{a-1} + 1$ всегда положительна. Поэтому знак модуля можно опустить.

$|\sqrt{a-1} + 1| = \sqrt{a-1} + 1$

Ответ: $\sqrt{a-1} + 1$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}} - \sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}$ при условии $a+b \ge 1$.

Для упрощения вычислений введем замену: пусть $x = a+b$. С учетом этого, условие будет выглядеть как $x \ge 1$, а само выражение примет вид:

$\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} - \sqrt{x+1-2\sqrt{x}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности, выделив под радикалами полные квадраты.

Для первого члена $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}}$ подкоренное выражение является полным квадратом суммы:

$x+1+2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}+1)^2$

Следовательно, $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}+1)^2} = |\sqrt{x}+1|$. Так как по условию $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и сумма $\sqrt{x}+1$ всегда положительна. Таким образом, $|\sqrt{x}+1| = \sqrt{x}+1$.

Для второго члена $\sqrt{x+1-2\sqrt{x}}$ подкоренное выражение является полным квадратом разности:

$x+1-2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}-1)^2$

Следовательно, $\sqrt{x+1-2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}-1)^2} = |\sqrt{x}-1|$. Так как $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и разность $\sqrt{x}-1$ является неотрицательной ($\ge 0$). Таким образом, $|\sqrt{x}-1| = \sqrt{x}-1$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1 = 2$

Результат не зависит от $x$, а значит и от $a$ и $b$.

Ответ: $2$