Номер 449, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 449, страница 107.

449. Известно, что числа а и b рациональные. Является ли рациональным число:

a∈Q, b∈Q

a) a+b∈Q

Ответ: да

б) a-b∈Q

Ответ: да

в) ab∈Q

Ответ: да

г) $\frac{a}{b}\in Q (b\ne 0)$

Ответ: да

а) a + b; Поскольку числа $a$ и $b$ рациональные, их можно представить в виде дробей с целыми числителями и ненулевыми целыми знаменателями. Пусть $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$, где $m, n, p, q$ — целые числа, причем $n \neq 0$ и $q \neq 0$.
Найдем сумму этих чисел: $a + b = \frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + np}{nq}$.
В полученной дроби числитель $mq + np$ является целым числом, так как представляет собой сумму произведений целых чисел. Знаменатель $nq$ также является целым числом, и, поскольку $n \neq 0$ и $q \neq 0$, их произведение $nq$ не равно нулю.
Таким образом, сумма $a+b$ представляется в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — ненулевое целое число. Это означает, что $a+b$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.

б) a - b; Аналогично предыдущему пункту, представим $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$.
Найдем разность этих чисел: $a - b = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq - np}{nq}$.
Числитель $mq - np$ является целым числом (как разность произведений целых чисел), а знаменатель $nq$ — ненулевым целым числом.
Следовательно, разность $a-b$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.

в) ab; Представим $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$.
Найдем произведение этих чисел: $ab = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{mp}{nq}$.
Числитель $mp$ является целым числом (как произведение целых чисел), а знаменатель $nq$ — ненулевым целым числом.
Следовательно, произведение $ab$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.

г) a/b ($b \neq 0$)? Представим $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$. Условие $b \neq 0$ означает, что числитель $p$ также не равен нулю ($p \neq 0$), поскольку знаменатель $q$ по определению не равен нулю.
Найдем частное этих чисел: $\frac{a}{b} = \frac{\frac{m}{n}}{\frac{p}{q}} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$.
В полученной дроби числитель $mq$ является целым числом. Знаменатель $np$ является произведением двух ненулевых целых чисел ($n \neq 0$ и $p \neq 0$), поэтому он также является ненулевым целым числом.
Следовательно, частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.