Номер 448, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 448, страница 107.

448. Известно, что числа а и b целые. Является ли целым число:

a∈Z, b∈Z

a) a+b∈Z

Ответ: да

б) a-b∈Z

Ответ: да

в) ab∈Z

Ответ: да

г) $\frac{a}{b}\in Z,$ если a кратно b, b≠0

$\frac{a}{b}\notin Z,$ если a не кратно b, b≠0

Ответ: не всегда

По условию задачи, числа a и b являются целыми. Целые числа — это натуральные числа (1, 2, 3, …), противоположные им числа (–1, –2, –3, …) и число 0. Множество целых чисел обозначается как $ \mathbb{Z} $. Проанализируем каждое выражение на предмет того, всегда ли его значение будет целым числом.

а) a + b;
Сумма двух целых чисел всегда является целым числом. Это одно из основных свойств множества целых чисел, которое называется замкнутостью относительно операции сложения.
Например, если $a = 5$ и $b = -3$, то $a + b = 5 + (-3) = 2$. Число 2 является целым.
Если $a = -10$ и $b = -4$, то $a + b = -10 + (-4) = -14$. Число -14 является целым.
Следовательно, выражение $a+b$ всегда будет целым числом, если $a$ и $b$ — целые числа.
Ответ: да, является.

б) a - b;
Разность двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел также замкнуто относительно операции вычитания.
Например, если $a = 7$ и $b = 12$, то $a - b = 7 - 12 = -5$. Число -5 является целым.
Если $a = -2$ и $b = -9$, то $a - b = -2 - (-9) = -2 + 9 = 7$. Число 7 является целым.
Следовательно, выражение $a-b$ всегда будет целым числом, если $a$ и $b$ — целые числа.
Ответ: да, является.

в) ab;
Произведение двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто и относительно операции умножения.
Например, если $a = 6$ и $b = -4$, то $ab = 6 \times (-4) = -24$. Число -24 является целым.
Если $a = -5$ и $b = -7$, то $ab = (-5) \times (-7) = 35$. Число 35 является целым.
Следовательно, выражение $ab$ всегда будет целым числом, если $a$ и $b$ — целые числа.
Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b}$ ($b \neq 0$)?
Частное двух целых чисел не всегда является целым числом. Множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления. Результат деления будет целым числом только в том случае, если делимое $a$ нацело делится на делитель $b$. В общем случае результатом деления является рациональное число.
Для доказательства достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 3$ и $b = 2$. Оба числа являются целыми.
Их частное равно $\frac{a}{b} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Число 1.5 не является целым. Следовательно, частное двух целых чисел не всегда является целым числом.
Ответ: нет, не всегда.