Номер 454, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 454, страница 107.

454. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, заключённых между числами 10 и 10,1.

Рациональные: 10,02; 10,0004

Иррациональные: 10,0012357083.... 10,0008713584....

Задача состоит в том, чтобы найти два рациональных и два иррациональных числа, которые находятся между 10 и 10,1. Это значит, что мы ищем числа x, для которых выполняется строгое неравенство $10 < x < 10,1$.

Два рациональных числа

Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где m — целое число, а n — натуральное. В десятичной форме это конечные или периодические дроби. Мы можем легко найти такие числа в заданном интервале (10; 10,1), выбрав конечные десятичные дроби.

1. Возьмем число 10,03. Оно удовлетворяет условию $10 < 10,03 < 10,1$. Это число является конечной десятичной дробью, и его можно записать как $\frac{1003}{100}$, поэтому оно рациональное.

2. Возьмем число 10,07. Оно также удовлетворяет условию $10 < 10,07 < 10,1$. Это число можно представить в виде дроби $\frac{1007}{100}$, следовательно, оно тоже является рациональным.

Ответ: 10,03 и 10,07.

Два иррациональных числа

Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью. Для нахождения иррациональных чисел в заданном интервале можно использовать квадратные корни из чисел, не являющихся точными квадратами. Найдем такое число y, чтобы выполнялось неравенство $10 < \sqrt{y} < 10,1$. Для этого возведем все части неравенства в квадрат: $10^2 < (\sqrt{y})^2 < (10,1)^2$ $100 < y < 102,01$

1. Мы можем выбрать любое целое число y из интервала (100; 102,01), которое не является точным квадратом. Возьмем, например, $y = 101$. Так как $100 < 101 < 102,01$, то $10 < \sqrt{101} < 10,1$. Число $\sqrt{101}$ является иррациональным.

2. Аналогично, мы можем взять $y = 102$. Так как $100 < 102 < 102,01$, то $10 < \sqrt{102} < 10,1$. Число $\sqrt{102}$ также является иррациональным.

Другой способ — это создать бесконечную непериодическую дробь, например, $10,0123456...$ или $10,050050005...$. Эти числа также являются иррациональными и лежат в заданном интервале.

Ответ: $\sqrt{101}$ и $\sqrt{102}$.