Номер 460, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 460, страница 108.

460. Может ли:

а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом;

б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?

а) $-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0$

Ответ: да

б) $0·\sqrt{3}=0$

Ответ: да

а) Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Для подтверждения этого утверждения достаточно привести один пример.

Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Рациональные числа, наоборот, можно представить в виде дроби.

Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Противоположное ему число $-\sqrt{2}$ также является иррациональным.

Вычислим их сумму:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Результат сложения, 0, является рациональным числом, поскольку его можно представить в виде дроби, например, $0/1$. Таким образом, существует пара иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

Другой пример: числа $5 + \sqrt{3}$ и $5 - \sqrt{3}$ являются иррациональными, а их сумма $(5 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) = 10$ — рациональное число.

Ответ: Да, может.

б) Да, произведение рационального и иррационального чисел может быть рациональным числом. Это возможно в единственном случае: когда рациональное число равно нулю.

Рассмотрим этот случай. Число 0 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби, например, $0/1$.

Возьмем рациональное число $r = 0$ и любое иррациональное число, например, $i = \pi$.

Найдем их произведение:

$r \cdot i = 0 \cdot \pi = 0$

Результат, 0, является рациональным числом. Этот пример показывает, что произведение рационального и иррационального чисел может быть рациональным.

Важно отметить, что если рациональный множитель отличен от нуля, то его произведение с любым иррациональным числом всегда будет иррациональным.

Ответ: Да, может.