Номер 464, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 464, страница 109.

464. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

a) $\frac{4}{\sqrt{x}}$

Ответ: при x>0

б) $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

Ответ: при x≥0

в) $\frac{5}{\sqrt{x}-1}; \sqrt{x}-1\ne 0; \sqrt{x}\ne 1; x\ne 1$

Ответ: при x≥0, x≠1

а)

Для того чтобы выражение $\frac{4}{\sqrt{x}}$ имело смысл, должны выполняться два условия, связанные с областью определения:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это означает, что $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Это означает, что $\sqrt{x} \neq 0$.

Решая второе условие, возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 \neq 0^2$, что дает $x \neq 0$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), мы получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля.

Ответ: $x > 0$.

б)

Для того чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ имело смысл, необходимо выполнение следующих условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x \ge -2$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{x+2} \neq 0$. Возводим обе части в квадрат: $x+2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$.

Чтобы выражение имело смысл, оба условия должны выполняться одновременно. Совмещая $x \ge -2$ и $x \neq -2$, получаем строгое неравенство $x > -2$.

Ответ: $x > -2$.

в)

Для того чтобы выражение $\frac{5}{\sqrt{x}-1}$ имело смысл, должны быть выполнены два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x}-1 \neq 0$.

Решим второе условие: $\sqrt{x} \neq 1$. Возводим обе части в квадрат: $x \neq 1^2$, что дает $x \neq 1$.

Таким образом, переменная $x$ должна удовлетворять системе условий:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Это означает, что $x$ может быть любым неотрицательным числом, за исключением единицы.

Ответ: $x \ge 0$ и $x \neq 1$.