Номер 471, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 471, страница 110.

471. Вычислите:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}15\sqrt{20}·0,1\sqrt{45}=15\sqrt{4·5}·0,1\sqrt{9·5}= \\ =15·2\sqrt{5}·0,1·3\sqrt{5}= \\ =30\sqrt{5}·0,3\sqrt{5}=9·5=45 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}0,3\sqrt{10}·0,2\sqrt{15}·0,5\sqrt{6}= \\ =0,3·0,2·0,5\sqrt{10·15·6}= \\ =0,03·\sqrt{900}=0,03·30=0,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}}=\frac{80}{4}·\sqrt{\frac{5}{0,2}}=20·\sqrt{\frac{50}{2}}= \\ =20·\sqrt{25}=20·5=100 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}}=\frac{1}{5}·\sqrt{\frac{0,48}{12}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{48}{1200}}= \\ =\frac{1}{5}·\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}·\frac{1}{5}=\frac{1}{25}=0,04 \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить выражение $15\sqrt{20} \cdot 0,1\sqrt{45}$, сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и квадратные корни, а затем перемножим их.
$15\sqrt{20} \cdot 0,1\sqrt{45} = (15 \cdot 0,1) \cdot (\sqrt{20} \cdot \sqrt{45})$
Сначала вычислим произведение коэффициентов:
$15 \cdot 0,1 = 1,5$
Теперь используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{20 \cdot 45} = \sqrt{900}$
Извлекаем квадратный корень:
$\sqrt{900} = 30$
Наконец, перемножим полученные результаты:
$1,5 \cdot 30 = 45$
Ответ: 45

б) Для вычисления выражения $0,3\sqrt{10} \cdot 0,2\sqrt{15} \cdot 0,5\sqrt{6}$ поступим аналогично предыдущему пункту: сгруппируем коэффициенты и корни.
$(0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,5) \cdot (\sqrt{10} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{6})$
Вычислим произведение коэффициентов:
$0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,5 = 0,06 \cdot 0,5 = 0,03$
Теперь перемножим подкоренные выражения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$:
$\sqrt{10 \cdot 15 \cdot 6} = \sqrt{(2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 5)^2} = \sqrt{30^2} = 30$
Перемножим полученные результаты:
$0,03 \cdot 30 = 0,9$
Ответ: 0,9

в) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}}$, разделим отдельно коэффициенты и отдельно квадратные корни.
$\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}} = \frac{8}{0,4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{0,2}}$
Вычислим частное коэффициентов:
$\frac{8}{0,4} = \frac{80}{4} = 20$
Для частного корней используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{5}{0,2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}$
Извлекаем корень:
$\sqrt{25} = 5$
Перемножим полученные результаты:
$20 \cdot 5 = 100$
Ответ: 100

г) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}}$ также разделим вычисления на две части: для коэффициентов и для корней.
$\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{0,48}}{\sqrt{12}}$
Применим свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{0,48}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{0,48}{12}} = \sqrt{0,04}$
Извлечем квадратный корень:
$\sqrt{0,04} = 0,2$
Теперь умножим полученный результат на коэффициент $\frac{1}{5}$:
$\frac{1}{5} \cdot 0,2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$
Ответ: 0,04