Страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

439. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

a) $\sqrt{55+\sqrt{216}}=\sqrt{\frac{55+\sqrt{{55}^2-216}}{2}}+$

$$\begin{gathered} +\sqrt{\frac{55-\sqrt{{55}^2-216}}{2}}=\sqrt{\frac{55+\sqrt{3025-216}}{2}}+ \\ +\sqrt{\frac{55-\sqrt{3025-216}}{2}}=\sqrt{\frac{55+\sqrt{2809}}{2}}+ \\ +\sqrt{\frac{55-\sqrt{2809}}{2}}=\sqrt{\frac{55+53}{2}}+\sqrt{\frac{55-53}{2}}= \\ =\sqrt{\frac{102}{2}}+\sqrt{1}=\sqrt{54}+1=\sqrt{9·6}+1=3\sqrt{6}+1 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{86-\sqrt{5460}}=\sqrt{\frac{86+\sqrt{{86}^2-5460}}{2}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{86-\sqrt{{86}^2-5460}}{2}}=\sqrt{\frac{86+\sqrt{7396-5460}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{86-\sqrt{7396-5460}}{2}}=\sqrt{\frac{86+\sqrt{1936}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{86-\sqrt{1936}}{2}}=\sqrt{\frac{86+44}{2}}-\sqrt{\frac{86-44}{2}}= \\ =\sqrt{\frac{130}{2}}-\sqrt{\frac{42}{2}}=\sqrt{65}-\sqrt{21} \end{gathered}$$

в) $\sqrt{17+\sqrt{288}}=\sqrt{\frac{17+\sqrt{{17}^2-288}}{2}}+$

$$\begin{gathered} +\sqrt{\frac{17-\sqrt{{17}^2-288}}{2}}=\sqrt{\frac{17+\sqrt{289-288}}{2}}+ \\ +\sqrt{\frac{17-\sqrt{289-288}}{2}}=\sqrt{\frac{17+1}{2}}+\sqrt{\frac{17-1}{2}}= \\ =\sqrt{9}+\sqrt{8}=3+\sqrt{4·2}=3+2\sqrt{2} \end{gathered}$$

г) $\sqrt{32-\sqrt{1008}}=\sqrt{\frac{32+\sqrt{{32}^2-1008}}{2}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{32-\sqrt{{32}^2-1008}}{2}}=\sqrt{\frac{32+\sqrt{1024-1008}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{32-\sqrt{1024-1008}}{2}}=\sqrt{\frac{32+\sqrt{16}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{32-\sqrt{16}}{2}}=\sqrt{\frac{32+4}{2}}-\sqrt{\frac{32-4}{2}}= \\ =\sqrt{18}-\sqrt{14}=\sqrt{9·2}-\sqrt{14}=3\sqrt{2}-\sqrt{14} \end{gathered}$$

Для решения данных задач воспользуемся формулой двойного радикала, которая позволяет преобразовать выражение вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ в сумму или разность двух простых радикалов. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.

Общий метод заключается в следующем: преобразуем выражение $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{C}}$, где $C = B/4$. Затем ищем два числа, $x$ и $y$, такие, что их сумма $x+y = A$ и произведение $xy = C$. Если такие числа найдены, то исходное выражение равно:

$\sqrt{A \pm 2\sqrt{C}} = \sqrt{(x+y) \pm 2\sqrt{xy}} = \sqrt{(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} \pm \sqrt{y}|$

Применим этот метод к каждому из примеров.

а) $\sqrt{55 + \sqrt{216}}$

Сначала преобразуем внутренний радикал, выделив множитель 2: $\sqrt{216} = \sqrt{4 \cdot 54} = 2\sqrt{54}$. Теперь выражение имеет вид $\sqrt{55 + 2\sqrt{54}}$. Здесь $A=55$ и подкоренное число у второго радикала $C=54$. Нам нужно найти два числа, $x$ и $y$, для которых $x+y=55$ и $xy=54$. Легко видеть, что это числа 54 и 1.

Следовательно, $55 + 2\sqrt{54} = (54+1) + 2\sqrt{54 \cdot 1} = (\sqrt{54} + \sqrt{1})^2$.

Тогда $\sqrt{55 + \sqrt{216}} = \sqrt{(\sqrt{54} + \sqrt{1})^2} = \sqrt{54} + \sqrt{1}$.

Упрощая, получаем: $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.

Итоговое выражение: $3\sqrt{6} + 1$.

Ответ: $3\sqrt{6} + 1$.

б) $\sqrt{86 - \sqrt{5460}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{5460} = \sqrt{4 \cdot 1365} = 2\sqrt{1365}$. Получаем выражение: $\sqrt{86 - 2\sqrt{1365}}$.

Здесь $A=86$ и $C=1365$. Ищем $x$ и $y$ такие, что $x+y=86$ и $xy=1365$. Разложим 1365 на простые множители: $1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$. Подбираем два числа из этих множителей, сумма которых равна 86. Это $x = 5 \cdot 13 = 65$ и $y = 3 \cdot 7 = 21$. Проверяем: $65+21 = 86$.

Следовательно, $86 - 2\sqrt{1365} = (65+21) - 2\sqrt{65 \cdot 21} = (\sqrt{65} - \sqrt{21})^2$.

Тогда $\sqrt{86 - \sqrt{5460}} = \sqrt{(\sqrt{65} - \sqrt{21})^2} = |\sqrt{65} - \sqrt{21}|$. Так как $65 > 21$, то $\sqrt{65} > \sqrt{21}$, поэтому модуль можно убрать.

Ответ: $\sqrt{65} - \sqrt{21}$.

в) $\sqrt{17 + \sqrt{288}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{288} = \sqrt{4 \cdot 72} = 2\sqrt{72}$. Получаем выражение: $\sqrt{17 + 2\sqrt{72}}$.

Здесь $A=17$ и $C=72$. Ищем $x$ и $y$ такие, что $x+y=17$ и $xy=72$. Эти числа легко подобрать: $x=9$ и $y=8$.

Следовательно, $17 + 2\sqrt{72} = (9+8) + 2\sqrt{9 \cdot 8} = (\sqrt{9} + \sqrt{8})^2$.

Тогда $\sqrt{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{(\sqrt{9} + \sqrt{8})^2} = \sqrt{9} + \sqrt{8}$.

Упрощаем результат: $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Итоговое выражение: $3 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{32 - \sqrt{1008}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{1008} = \sqrt{4 \cdot 252} = 2\sqrt{252}$. Получаем выражение: $\sqrt{32 - 2\sqrt{252}}$.

Здесь $A=32$ и $C=252$. Ищем $x$ и $y$ такие, что $x+y=32$ и $xy=252$. Для нахождения $x$ и $y$ можно решить квадратное уравнение $t^2 - 32t + 252 = 0$.

Дискриминант $D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 252 = 1024 - 1008 = 16$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{32 \pm 4}{2}$. Отсюда $x = t_1 = \frac{36}{2} = 18$ и $y = t_2 = \frac{28}{2} = 14$.

Следовательно, $32 - 2\sqrt{252} = (18+14) - 2\sqrt{18 \cdot 14} = (\sqrt{18} - \sqrt{14})^2$.

Тогда $\sqrt{32 - \sqrt{1008}} = \sqrt{(\sqrt{18} - \sqrt{14})^2} = |\sqrt{18} - \sqrt{14}|$. Так как $18 > 14$, то $\sqrt{18} > \sqrt{14}$, поэтому модуль можно убрать.

Упрощаем $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Итоговое выражение: $3\sqrt{2} - \sqrt{14}$.

Ответ: $3\sqrt{2} - \sqrt{14}$.

440. Упростите выражение, вычислив предварительно значение а², если:

a) $a=\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}$

$$\begin{gathered} a^2={(\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}})}^2= \\ {=\left(\sqrt{11+\sqrt{85}}\right)}^2-2\sqrt{11+\sqrt{85}}·\sqrt{11-\sqrt{85}}+ \\ +{\left(\sqrt{11-\sqrt{85}}\right)}^2=11+\sqrt{85}- \\ -2\sqrt{(11+\sqrt{85})(11-\sqrt{85})}+11-\sqrt{85}= \\ =22-2\sqrt{{11}^2-{\left(\sqrt{85}\right)}^2}=22-2\sqrt{121-85}= \\ =22-2·\sqrt{36}=22-2·6=22-12=10 \\ a=\sqrt{10} \end{gathered}$$

б) $a=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$

$$\begin{gathered} a^2={(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})}^2={\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)}^2+ \\ +2\sqrt{3+\sqrt{5}}\sqrt{3-\sqrt{5}}+{\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}^2= \\ =3+\sqrt{5}+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+3-\sqrt{5}= \\ =6+2\sqrt{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=6+2\sqrt{9-5}= \\ 6+2·\sqrt{4}=6+2·2=10 \\ a=\sqrt{10} \end{gathered}$$

а)

Дано выражение $a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Согласно условию, сначала вычислим значение $a^2$. Для этого возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 - 2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} + (\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 = 11 + \sqrt{85}$

$(\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2 = 11 - \sqrt{85}$

Для среднего члена используем свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$:

$2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} = 2 \cdot \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 - \sqrt{85})} = 2 \cdot \sqrt{11^2 - (\sqrt{85})^2}$

$= 2 \cdot \sqrt{121 - 85} = 2 \cdot \sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (11 + \sqrt{85}) - 12 + (11 - \sqrt{85})$

$a^2 = 11 + \sqrt{85} - 12 + 11 - \sqrt{85} = 22 - 12 = 10$

Итак, мы получили, что $a^2 = 10$. Отсюда следует, что $a = \sqrt{10}$ или $a = -\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, сравним уменьшаемое и вычитаемое в исходном выражении: $\sqrt{11 + \sqrt{85}}$ и $\sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Так как $\sqrt{85} > 0$, то $11 + \sqrt{85} > 11 - \sqrt{85}$. Поскольку функция квадратного корня является возрастающей для неотрицательных чисел, то $\sqrt{11 + \sqrt{85}} > \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Следовательно, разность $a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}$ является положительным числом, то есть $a > 0$.

Из двух возможных значений $a = \sqrt{10}$ и $a = -\sqrt{10}$ выбираем положительное.

Ответ: $a = \sqrt{10}$.

б)

Дано выражение $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$.

Вычислим значение $a^2$. Для этого возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} + (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 = 3 - \sqrt{5}$

Для среднего члена используем свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$:

$2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} = 2 \cdot \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = 2 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= 2 \cdot \sqrt{9 - 5} = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (3 + \sqrt{5}) + 4 + (3 - \sqrt{5})$

$a^2 = 3 + \sqrt{5} + 4 + 3 - \sqrt{5} = 10$

Итак, мы получили, что $a^2 = 10$. Отсюда следует, что $a = \sqrt{10}$ или $a = -\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, заметим, что оба слагаемых в исходном выражении являются положительными числами. Во-первых, $3 + \sqrt{5} > 0$. Во-вторых, чтобы выражение $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ имело смысл, нужно, чтобы $3 - \sqrt{5} \ge 0$. Сравним $3$ и $\sqrt{5}$: $3^2 = 9$, $(\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $9 > 5$, то $3 > \sqrt{5}$, следовательно $3 - \sqrt{5} > 0$.

Сумма двух положительных чисел всегда положительна, поэтому $a > 0$.

Из двух возможных значений $a = \sqrt{10}$ и $a = -\sqrt{10}$ выбираем положительное.

Ответ: $a = \sqrt{10}$.

441. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:

a) $\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{1^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2·2\sqrt{3}}- \\ -\sqrt{1^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2·2\sqrt{3}}=\sqrt{{(2\sqrt{3}+1)}^2}- \\ -\sqrt{{(2\sqrt{3}-1)}^2}=\left|2\sqrt{3}+1\right|-\left|2\sqrt{3}-1\right|= \\ =2\sqrt{3}+1-(2\sqrt{3}-1)= \\ =2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}+1=2 -\text{рациональное число} \end{gathered}$$

б) $\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{\left(\sqrt{17}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2·\sqrt{17}·\sqrt{2}}+ \\ +\sqrt{{\left(\sqrt{17}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{17}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{17}-\sqrt{2})}^2}+\sqrt{{(\sqrt{17}+\sqrt{2})}^2}= \\ =\left|\sqrt{17}-\sqrt{2}\right|+\left|\sqrt{17}+\sqrt{2}\right|= \\ =\sqrt{17}-\sqrt{2}+\sqrt{17}+\sqrt{2}= \\ =2\sqrt{17} - \text{иррациональное число} \end{gathered}$$

а)

Чтобы определить, является ли значение выражения $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$ рациональным или иррациональным, обозначим это выражение через X.

$X = \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$

Прежде всего, убедимся, что выражения под корнями неотрицательны. $13 + 4\sqrt{3}$ очевидно положительно. Для второго выражения: $13 - 4\sqrt{3} = 13 - \sqrt{16 \cdot 3} = 13 - \sqrt{48}$. Так как $13^2=169$, а $(\sqrt{48})^2=48$, то $13 > \sqrt{48}$, следовательно $13 - 4\sqrt{3} > 0$.

Поскольку $13+4\sqrt{3} > 13-4\sqrt{3}$, то и $\sqrt{13+4\sqrt{3}} > \sqrt{13-4\sqrt{3}}$, а значит значение X является положительным числом.

Возведем выражение X в квадрат, чтобы избавиться от внешних корней. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$X^2 = (\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}})^2$

$X^2 = (\sqrt{13 + 4\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} + (\sqrt{13 - 4\sqrt{3}})^2$

$X^2 = (13 + 4\sqrt{3}) - 2\sqrt{(13 + 4\sqrt{3})(13 - 4\sqrt{3})} + (13 - 4\sqrt{3})$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ для выражения под корнем:

$X^2 = (13+13) + (4\sqrt{3}-4\sqrt{3}) - 2\sqrt{13^2 - (4\sqrt{3})^2}$

$X^2 = 26 - 2\sqrt{169 - 16 \cdot 3}$

$X^2 = 26 - 2\sqrt{169 - 48}$

$X^2 = 26 - 2\sqrt{121}$

$X^2 = 26 - 2 \cdot 11$

$X^2 = 26 - 22 = 4$

Мы получили, что $X^2 = 4$. Так как мы установили, что X > 0, то X является положительным квадратным корнем из 4.

$X = \sqrt{4} = 2$

Число 2 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: значение выражения является рациональным числом.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}$. Обозначим его через Y.

$Y = \sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}$

Убедимся, что подкоренные выражения неотрицательны. $19 + 2\sqrt{34}$ очевидно положительно. Для первого выражения: $19 - 2\sqrt{34} = 19 - \sqrt{4 \cdot 34} = 19 - \sqrt{136}$. Так как $19^2=361$, а $(\sqrt{136})^2=136$, то $19 > \sqrt{136}$, следовательно $19 - 2\sqrt{34} > 0$.

Значение Y является суммой двух положительных чисел, поэтому Y > 0.

Возведем выражение Y в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$Y^2 = (\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}})^2$

$Y^2 = (\sqrt{19 - 2\sqrt{34}})^2 + 2 \cdot \sqrt{19 - 2\sqrt{34}} \cdot \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} + (\sqrt{19 + 2\sqrt{34}})^2$

$Y^2 = (19 - 2\sqrt{34}) + 2\sqrt{(19 - 2\sqrt{34})(19 + 2\sqrt{34})} + (19 + 2\sqrt{34})$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:

$Y^2 = (19+19) + (2\sqrt{34}-2\sqrt{34}) + 2\sqrt{19^2 - (2\sqrt{34})^2}$

$Y^2 = 38 + 2\sqrt{361 - 4 \cdot 34}$

$Y^2 = 38 + 2\sqrt{361 - 136}$

$Y^2 = 38 + 2\sqrt{225}$

$Y^2 = 38 + 2 \cdot 15$

$Y^2 = 38 + 30 = 68$

Мы получили, что $Y^2 = 68$. Так как Y > 0, то Y является положительным квадратным корнем из 68.

$Y = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$

Число $\sqrt{17}$ является иррациональным, так как 17 — это простое число, и оно не является квадратом целого числа. Произведение ненулевого рационального числа (2) на иррациональное число ($\sqrt{17}$) является иррациональным числом. Следовательно, значение выражения Y иррационально.

Ответ: значение выражения является иррациональным числом.

442. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}}=\frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}·\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}·\sqrt{4-\sqrt{11}}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{{(4-\sqrt{11})}^2}}{\sqrt{16-11}}=\frac{\left|4-\sqrt{11}\right|}{\sqrt{5}}= \\ =\frac{(4-\sqrt{11})·\sqrt{5}}{\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{55}}{5} \end{gathered}$$

б) $\frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}·\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}·\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}^2}}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}}=\frac{\left|\sqrt{5}+\sqrt{3}\right|}{\sqrt{5-3}}= \\ =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} \end{gathered}$$

в) $\frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}}=\frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}·\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}·\sqrt{\sqrt{5}-2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{{(\sqrt{5}-2)}^2}}{\sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}}=\frac{\left|\sqrt{5}-2\right|}{\sqrt{5-4}}= \\ =\frac{\sqrt{5}-2}{1}=\sqrt{5}-2 \end{gathered}$$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, как правило, домножают числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе исчез знак корня. Часто для этого используется формула разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

Дана дробь $ \frac{\sqrt{4 - \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}} $.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{4 - \sqrt{11}} $. Это позволит применить формулу разности квадратов для подкоренного выражения в знаменателе.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{4 - \sqrt{11}} \cdot \sqrt{4 - \sqrt{11}} = (\sqrt{4 - \sqrt{11}})^2 = 4 - \sqrt{11} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sqrt{4 + \sqrt{11}} \cdot \sqrt{4 - \sqrt{11}} = \sqrt{(4 + \sqrt{11})(4 - \sqrt{11})} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{11})^2} = \sqrt{16 - 11} = \sqrt{5} $.

Получаем новую дробь:

$ \frac{4 - \sqrt{11}}{\sqrt{5}} $.

В знаменателе все еще есть иррациональность. Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{(4 - \sqrt{11}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{11}\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $.

Теперь знаменатель (5) — рациональное число.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $

Дана дробь $ \frac{\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3}}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = (\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})^2 = \sqrt{5} + \sqrt{3} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5 - 3} = \sqrt{2} $.

Получаем новую дробь:

$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Чтобы окончательно избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} $.

Теперь знаменатель (2) — рациональное число.

Ответ: $ \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} $

Дана дробь $ \frac{\sqrt{\sqrt{5} - 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5} - 2} $.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{\sqrt{5} - 2} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 2} = (\sqrt{\sqrt{5} - 2})^2 = \sqrt{5} - 2 $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sqrt{\sqrt{5} + 2} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1 $.

Получаем выражение:

$ \frac{\sqrt{5} - 2}{1} = \sqrt{5} - 2 $.

Знаменатель равен 1, что является рациональным числом.

Ответ: $ \sqrt{5} - 2 $

443. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}·\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})·(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{4-{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^2}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{4-(2+\sqrt{3})}= \\ =\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{4-2-\sqrt{3}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{2-\sqrt{3}}= \\ =\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\sqrt{4-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4-3}=1 \end{gathered}$$

Для нахождения значения выражения будем последовательно его упрощать. Исходное выражение:

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} $$

Сначала рассмотрим произведение двух последних множителей. Используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, объединим их под одним знаком корня:

$$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})} $$

Выражение в скобках под корнем соответствует формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=2$ и $y=\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Применим эту формулу для упрощения:

$$ \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2-\sqrt{3}} $$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение. Оно примет вид:

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} $$

Снова применим те же правила: объединим множители под одним корнем и используем формулу разности квадратов, где на этот раз $x=2$ и $y=\sqrt{3}$:

$$ \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 $$

Таким образом, значение исходного выражения равно 1.

Ответ: 1

444. Докажите, что верно равенство:

a) $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Возведем в квадрат обе части равенства

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}\right)}^2={\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2 \\ 10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}= \\ ={(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2+2\sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3})+{\left(\sqrt{5}\right)}^2 \\ 10+\sqrt{4·6}+\sqrt{4·10}+\sqrt{4·15}= \\ =2+3+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}+5 \\ 10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}= \\ =10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15} \end{gathered}$$

б) $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}=1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$

Возведем в квадрат обе части равенства

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}\right)}^2={(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})}^2 \\ 9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}={(1+\sqrt{3})}^2-2\sqrt{5}(1+\sqrt{3})+5 \\ 9+\sqrt{4·3}-\sqrt{4·5}-\sqrt{4·15}= \\ =1+2\sqrt{3}+3-2\sqrt{5}-2\sqrt{15}+5 \\ 9+2\sqrt{3}-2\sqrt{5}-2\sqrt{15}=9+2\sqrt{3}-2\sqrt{5}-2\sqrt{15} \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать данное равенство, достаточно возвести в квадрат его правую часть и убедиться, что полученное выражение равно подкоренному выражению в левой части. Обе части равенства являются положительными числами (в правой части сумма положительных корней, в левой — арифметический квадратный корень), поэтому такое преобразование является равносильным.

Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых: $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + 2(\sqrt{2})(\sqrt{5}) + 2(\sqrt{3})(\sqrt{5})$

Выполним вычисления:

$= 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

Теперь упростим подкоренное выражение в левой части исходного равенства:

$10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10 + \sqrt{4 \cdot 6} + \sqrt{4 \cdot 10} + \sqrt{4 \cdot 15}$

$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

Так как квадрат правой части равенства равен подкоренному выражению в левой части, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем это равенство аналогичным способом. Возведем в квадрат правую часть. Но сначала проверим, является ли правая часть положительным числом, так как арифметический квадратный корень (левая часть) не может быть отрицательным.

Оценим значение выражения $1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}$. Мы знаем, что $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ и $2.2 < \sqrt{5} < 2.3$.

$1 + \sqrt{3} - \sqrt{5} \approx 1 + 1.732 - 2.236 = 2.732 - 2.236 = 0.496$.

Так как $0.496 > 0$, правая часть положительна. Теперь мы можем возводить обе части в квадрат.

Возведем правую часть в квадрат по формуле $(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$:

$(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{5})^2 + 2(1)(\sqrt{3}) - 2(1)(\sqrt{5}) - 2(\sqrt{3})(\sqrt{5})$

$= 1 + 3 + 5 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$

Теперь упростим подкоренное выражение в левой части равенства:

$9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{4 \cdot 15}$

$= 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$

Результаты совпали. Поскольку обе части исходного равенства положительны и их квадраты равны, само равенство также является верным.

Ответ: Равенство доказано.

445. Упростите выражение:

a) $\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{b+1-2\sqrt{b}}{2}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{b+1+2\sqrt{b}}{2}}=\sqrt{\frac{{(\sqrt{b}-1)}^2}{2}}-\sqrt{\frac{{(\sqrt{b}+1)}^2}{2}}= \\ =\frac{\sqrt{{(\sqrt{b}-1)}^2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{{(\sqrt{b}+1)}^2}}{\sqrt{2}}= \\ =\frac{\left|\sqrt{b}-1\right|-\left|\sqrt{b}+1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{b}-1-\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}= \\ =\frac{-2\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}, \text{где} b\ge 1 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{c+4+4\sqrt{c}}{4}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{c+4-4\sqrt{c}}{4}}=\sqrt{\frac{{(\sqrt{c}+2)}^2}{4}}-\sqrt{\frac{{(\sqrt{c}-2)}^2}{4}}= \\ =\frac{\sqrt{{(\sqrt{c}+2)}^2}}{\sqrt{4}}-\frac{\sqrt{{(\sqrt{c}-2)}^2}}{\sqrt{4}}= \\ =\frac{\left|\sqrt{c}+2\right|}{2}-\frac{\left|\sqrt{c}-2\right|}{2}=\frac{\sqrt{c}+2-(\sqrt{c}-2)}{2}= \\ =\frac{\sqrt{c}+2-\sqrt{c}+2}{2}=\frac{4}{2}=2, \text{где} c\ge 4 \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b}} - \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}} $ при $ b \ge 1 $ преобразуем выражения под знаками корня, чтобы выделить полные квадраты.

Рассмотрим первое подкоренное выражение:$ \frac{b+1}{2} - \sqrt{b} = \frac{b+1-2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 2\cdot\sqrt{b}\cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2} $.Тогда первый член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{b}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{b}-1|}{\sqrt{2}} $.Согласно условию $ b \ge 1 $, имеем $ \sqrt{b} \ge 1 $, что означает $ \sqrt{b}-1 \ge 0 $. Следовательно, модуль можно раскрыть со знаком плюс: $ |\sqrt{b}-1| = \sqrt{b}-1 $.Таким образом, первый член равен $ \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} $.

Рассмотрим второе подкоренное выражение:$ \frac{b+1}{2} + \sqrt{b} = \frac{b+1+2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 + 2\cdot\sqrt{b}\cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2} $.Тогда второй член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{b}+1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{b}+1|}{\sqrt{2}} $.Поскольку $ b \ge 1 $, $ \sqrt{b} $ является положительным числом, и $ \sqrt{b}+1 > 0 $. Следовательно, $ |\sqrt{b}+1| = \sqrt{b}+1 $.Таким образом, второй член равен $ \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}} $.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:$ \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{b}-1) - (\sqrt{b}+1)}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{b}-1-\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} $.Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:$ \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: $ -\sqrt{2} $

б) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} - \sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c}} $ при $ c \ge 4 $ также преобразуем подкоренные выражения.

Рассмотрим первое подкоренное выражение:$ \frac{c+4}{4} + \sqrt{c} = \frac{c+4+4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 + 2\cdot\sqrt{c}\cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4} $.Тогда первый член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{c}+2)^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|\sqrt{c}+2|}{2} $.Поскольку $ c \ge 4 $, $ \sqrt{c} \ge 2 $, и выражение $ \sqrt{c}+2 $ всегда положительно. Следовательно, $ |\sqrt{c}+2| = \sqrt{c}+2 $.Таким образом, первый член равен $ \frac{\sqrt{c}+2}{2} $.

Рассмотрим второе подкоренное выражение:$ \frac{c+4}{4} - \sqrt{c} = \frac{c+4-4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 - 2\cdot\sqrt{c}\cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4} $.Тогда второй член исходного выражения равен:$ \sqrt{\frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{c}-2)^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|\sqrt{c}-2|}{2} $.Согласно условию $ c \ge 4 $, имеем $ \sqrt{c} \ge \sqrt{4} = 2 $, что означает $ \sqrt{c}-2 \ge 0 $. Следовательно, $ |\sqrt{c}-2| = \sqrt{c}-2 $.Таким образом, второй член равен $ \frac{\sqrt{c}-2}{2} $.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:$ \frac{\sqrt{c}+2}{2} - \frac{\sqrt{c}-2}{2} = \frac{(\sqrt{c}+2) - (\sqrt{c}-2)}{2} = \frac{\sqrt{c}+2-\sqrt{c}+2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

Ответ: $ 2 $

446. Освободитесь от внешнего радикала в выражении:

a) $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{a-1}\right)}^2+2·1·\sqrt{a-1}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{(1+\sqrt{a-1})}^2}=\left|1+\sqrt{a-1}\right|= \\ =1+\sqrt{a-1} \text{при} a\ge 1 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{(\sqrt{a+b}+1)}^2}-\sqrt{{(\sqrt{a+b}-1)}^2}= \\ =\left|\sqrt{a+b}+1\right|-\left|\sqrt{a+b}-1\right|= \\ =\sqrt{a+b}+1-\sqrt{a+b}+1=2 \text{при} a+b\ge 1 \end{gathered}$$

Рассмотрим выражение $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}$ при условии $a \ge 1$.

Чтобы избавиться от внешнего радикала, необходимо представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.

Преобразуем подкоренное выражение $a + 2\sqrt{a-1}$, представив $a$ в виде суммы $(a-1)+1$:

$a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 + 2\sqrt{a-1}$

Теперь это выражение можно сгруппировать как полный квадрат:

$(a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} + 1)^2$

Подставим полученный квадрат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2}$

Согласно свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{z^2} = |z|$, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2} = |\sqrt{a-1} + 1|$

По условию $a \ge 1$, следовательно $a-1 \ge 0$, и корень $\sqrt{a-1}$ является действительным неотрицательным числом. Значит, сумма $\sqrt{a-1} + 1$ всегда положительна. Поэтому знак модуля можно опустить.

$|\sqrt{a-1} + 1| = \sqrt{a-1} + 1$

Ответ: $\sqrt{a-1} + 1$

Рассмотрим выражение $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}} - \sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}$ при условии $a+b \ge 1$.

Для упрощения вычислений введем замену: пусть $x = a+b$. С учетом этого, условие будет выглядеть как $x \ge 1$, а само выражение примет вид:

$\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} - \sqrt{x+1-2\sqrt{x}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности, выделив под радикалами полные квадраты.

Для первого члена $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}}$ подкоренное выражение является полным квадратом суммы:

$x+1+2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}+1)^2$

Следовательно, $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}+1)^2} = |\sqrt{x}+1|$. Так как по условию $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и сумма $\sqrt{x}+1$ всегда положительна. Таким образом, $|\sqrt{x}+1| = \sqrt{x}+1$.

Для второго члена $\sqrt{x+1-2\sqrt{x}}$ подкоренное выражение является полным квадратом разности:

$x+1-2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}-1)^2$

Следовательно, $\sqrt{x+1-2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}-1)^2} = |\sqrt{x}-1|$. Так как $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и разность $\sqrt{x}-1$ является неотрицательной ($\ge 0$). Таким образом, $|\sqrt{x}-1| = \sqrt{x}-1$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1 = 2$

Результат не зависит от $x$, а значит и от $a$ и $b$.

Ответ: $2$