Страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

421. Разложите на множители выражение:

a) $3+\sqrt{3}={\left(\sqrt{3}\right)}^2+\sqrt{3}=\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)$

б) $10-2\sqrt{10}={\left(\sqrt{10}\right)}^2-2\sqrt{10}=\sqrt{10}(\sqrt{10}-2)$

в) $\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^2=\sqrt{x}(1+\sqrt{x})$

г) $a-5\sqrt{a}={\left(\sqrt{a}\right)}^2-5\sqrt{a}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)$

д) $\sqrt{a}-\sqrt{2a}=\sqrt{a}(1-\sqrt{2})$

е) $\sqrt{3m}+\sqrt{5m}=\sqrt{m}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

ж) $$\begin{gathered} \sqrt{14}-\sqrt{7}=\sqrt{7·2}-\sqrt{7}=\sqrt{7}·\sqrt{2}-\sqrt{7}= \\ =\sqrt{7}(\sqrt{2}-1) \end{gathered}$$

з) $\sqrt{33}+\sqrt{22}=\sqrt{3·11}+\sqrt{2·11}=\sqrt{11}(\sqrt{3}+\sqrt{2})$

а) Чтобы разложить выражение $3 + \sqrt{3}$ на множители, представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$. Тогда выражение примет вид $(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}$. Теперь мы можем вынести общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки.
$3 + \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$

б) В выражении $10 - 2\sqrt{10}$ разложим каждое слагаемое на множители. Число $10$ можно представить как $2 \cdot 5 = 2 \cdot (\sqrt{5})^2$, а $2\sqrt{10}$ как $2\sqrt{2 \cdot 5} = 2\sqrt{2}\sqrt{5}$.
$10 - 2\sqrt{10} = 2 \cdot 5 - 2\sqrt{10} = 2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\sqrt{5} - 2\sqrt{2}\sqrt{5}$.
Общий множитель здесь $2\sqrt{5}$. Вынесем его за скобки:
$2\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Ответ: $2\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$

в) В выражении $\sqrt{x} + x$ (при условии $x \ge 0$), представим $x$ в виде $(\sqrt{x})^2$.
$\sqrt{x} + x = \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 1 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:
$\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$.
Ответ: $\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$

г) В выражении $a - 5\sqrt{a}$ (при условии $a \ge 0$), представим $a$ в виде $(\sqrt{a})^2$.
$a - 5\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - 5\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$\sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$

д) В выражении $\sqrt{a} - \sqrt{2a}$ (при условии $a \ge 0$), используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{a} - \sqrt{2a} = \sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$\sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$

е) В выражении $\sqrt{3m} + \sqrt{5m}$ (при условии $m \ge 0$), используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{3m} + \sqrt{5m} = \sqrt{3}\sqrt{m} + \sqrt{5}\sqrt{m}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{m}$ за скобки:
$\sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
Ответ: $\sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$

ж) В выражении $\sqrt{14} - \sqrt{7}$ представим $14$ как произведение $2 \cdot 7$.
$\sqrt{14} - \sqrt{7} = \sqrt{2 \cdot 7} - \sqrt{7} = \sqrt{2}\sqrt{7} - 1 \cdot \sqrt{7}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:
$\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$

з) В выражении $\sqrt{33} + \sqrt{22}$ представим подкоренные выражения в виде произведений: $33 = 3 \cdot 11$ и $22 = 2 \cdot 11$.
$\sqrt{33} + \sqrt{22} = \sqrt{3 \cdot 11} + \sqrt{2 \cdot 11} = \sqrt{3}\sqrt{11} + \sqrt{2}\sqrt{11}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{11}$ за скобки:
$\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

422. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{b^2-5}{b-\sqrt{5}}=\frac{b^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{b-\sqrt{5}}=\frac{(b-\sqrt{5})(b+\sqrt{5})}{b-\sqrt{5}}= \\ =b+\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{m+\sqrt{6}}{6-m^2}=\frac{m+\sqrt{6}}{{\left(\sqrt{6}\right)}^2-m^2}= \\ =\frac{m+\sqrt{6}}{(\sqrt{6}-m)(\sqrt{6}+m)}=\frac{1}{\sqrt{6}-m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2-\sqrt{x}}{x-4}=\frac{2-\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2^2}=\frac{2-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}= \\ =\frac{-(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=-\frac{1}{\sqrt{x}+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b-9}{\sqrt{b}+3}=\frac{{\left(\sqrt{b}\right)}^2-3^2}{\sqrt{b}+3}= \\ =\frac{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)}{\sqrt{b}+3}=\sqrt{b}-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a-b}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}= \\ =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}=\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{{\left(2\sqrt{x}\right)}^2-{\left(3\sqrt{y}\right)}^2}= \\ =\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(2\sqrt{x}+3\sqrt{y})}= \\ =\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}} \end{gathered}$$

а) Исходная дробь: $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$.
Для сокращения дроби разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$. Тогда числитель примет вид: $b^2 - 5 = b^2 - (\sqrt{5})^2 = (b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})$.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b - \sqrt{5}}$
Сократим общий множитель $(b - \sqrt{5})$ в числителе и знаменателе:
$b + \sqrt{5}$.
Ответ: $b + \sqrt{5}$.

б) Исходная дробь: $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$.
Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов.
Представим $6$ как $(\sqrt{6})^2$. Тогда знаменатель примет вид: $6 - m^2 = (\sqrt{6})^2 - m^2 = (\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)$.
Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)}$
Так как $m + \sqrt{6} = \sqrt{6} + m$, сократим общий множитель $(\sqrt{6} + m)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{\sqrt{6} - m}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$.

в) Исходная дробь: $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$.
Разложим знаменатель $x-4$ на множители по формуле разности квадратов. Учитывая, что в выражении есть $\sqrt{x}$, область определения $x \ge 0$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2$ и $4 = 2^2$.
$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.
Подставим в дробь:
$\frac{2 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$
Заметим, что числитель $2 - \sqrt{x}$ и множитель в знаменателе $(\sqrt{x} - 2)$ отличаются только знаком. Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $2 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 2)$.
$\frac{-(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - 2)$:
$-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$.
Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$.

г) Исходная дробь: $\frac{b - 9}{\sqrt{b} + 3}$.
Разложим числитель $b-9$ на множители по формуле разности квадратов. При $b \ge 0$, имеем $b = (\sqrt{b})^2$ и $9 = 3^2$.
$b - 9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{b} + 3)$:
$\sqrt{b} - 3$.
Ответ: $\sqrt{b} - 3$.

д) Исходная дробь: $\frac{a - b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$.
Разложим числитель $a - b$ на множители по формуле разности квадратов. При $a \ge 0$ и $b \ge 0$, имеем $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.
$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{b} + \sqrt{a}$), сократим общий множитель:
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

е) Исходная дробь: $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$.
Разложим знаменатель $4x - 9y$ на множители по формуле разности квадратов. При $x \ge 0$ и $y \ge 0$, имеем $4x = (2\sqrt{x})^2$ и $9y = (3\sqrt{y})^2$.
$4x - 9y = (2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})$.
Подставим в дробь:
$\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})}$
Сократим общий множитель $(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})$:
$\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$.

423. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-2}{x+\sqrt{2}}=\frac{x^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{x+\sqrt{2}}= \\ =\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x+\sqrt{2}}=x-\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\sqrt{5}-a}{5-a^2}=\frac{\sqrt{5}-a}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-a^2}=\frac{\sqrt{5}-a}{(\sqrt{5}-a)(\sqrt{5}+a)}= \\ =\frac{1}{\sqrt{5}+a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{\sqrt{x}-5}{25-x}=\frac{\sqrt{x}-5}{5^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2}=\frac{\sqrt{x}-5}{(5-\sqrt{x})(5+\sqrt{x})}= \\ =\frac{-(5-\sqrt{x})}{(5-\sqrt{x})(5+\sqrt{x})}=-\frac{1}{5+\sqrt{x}} \end{gathered}$$

г) $\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+\sqrt{5}·\sqrt{2}}{\sqrt{5}·\sqrt{2}}= \\ =\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{5\sqrt{3}}= \\ =\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{5\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{5} \end{gathered}$$

а)

Исходная дробь: $\frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим число 2 в виде квадрата иррационального числа: $2 = (\sqrt{2})^2$. Тогда числитель можно переписать и разложить на множители:

$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $(x + \sqrt{2})$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x + \sqrt{2} \neq 0$:

$\frac{(x - \sqrt{2})\cancel{(x + \sqrt{2})}}{\cancel{x + \sqrt{2}}} = x - \sqrt{2}$

Ответ: $x - \sqrt{2}$

б)

Исходная дробь: $\frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}$

Аналогично предыдущему примеру, разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов. Представим число 5 как $(\sqrt{5})^2$.

$5 - a^2 = (\sqrt{5})^2 - a^2 = (\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)$

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{5} - a}{(\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{5} - a)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $\sqrt{5} - a \neq 0$:

$\frac{\cancel{\sqrt{5} - a}}{(\cancel{\sqrt{5} - a})(\sqrt{5} + a)} = \frac{1}{\sqrt{5} + a}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5} + a}$

в)

Исходная дробь: $\frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}$

Для сокращения этой дроби разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов. Учтем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$.

$25 - x = 5^2 - (\sqrt{x})^2 = (5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})$

Заметим, что выражение в числителе $\sqrt{x} - 5$ отличается от множителя $5 - \sqrt{x}$ в знаменателе только знаком. Вынесем -1 за скобки в числителе:

$\sqrt{x} - 5 = -(5 - \sqrt{x})$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{-(5 - \sqrt{x})}{(5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})}$

Сократим общий множитель $(5 - \sqrt{x})$, при условии, что $5 - \sqrt{x} \neq 0$ (то есть $x \neq 25$):

$\frac{-\cancel{(5 - \sqrt{x})}}{(\cancel{5 - \sqrt{x}})(5 + \sqrt{x})} = -\frac{1}{5 + \sqrt{x}}$

Ответ: $-\frac{1}{5 + \sqrt{x}}$

г)

Исходная дробь: $\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}$

Для упрощения дроби можно разделить числитель на знаменатель почленно:

$\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Упростим каждое слагаемое. Первое слагаемое равно 1. Во втором слагаемом представим 2 как $(\sqrt{2})^2$:

$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Сложим полученные результаты:

$1 + \sqrt{2}$

Ответ: $1 + \sqrt{2}$

д)

Исходная дробь: $\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} + \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} + 1$

Теперь упростим первое слагаемое $\frac{5}{\sqrt{10}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Подставим упрощенное слагаемое обратно в выражение:

$\frac{\sqrt{10}}{2} + 1$

При желании можно привести к общему знаменателю: $\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{10} + 2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10} + 2}{2}$

е)

Исходная дробь: $\frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}$

Для сокращения дроби вынесем в числителе общий множитель. Для этого представим число 3 как произведение с участием $\sqrt{3}$: $3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2$.

Числитель примет вид: $2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2$.

Теперь можно вынести $\sqrt{3}$ за скобки:

$\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})}{5\cancel{\sqrt{3}}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{5}$

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{3}}{5}$

424. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{x·\sqrt{5}}{\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{x\sqrt{5}}{5}$

б) $\frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{b}}{\sqrt{b}·\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{b}}{b}$

в) $\frac{2}{7\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{y}}{7\sqrt{y}·\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{y}}{7y}$

г) $\frac{a}{b\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b\sqrt{b}·\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b·b}=\frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

д) $\frac{4}{\sqrt{a+b}}=\frac{4\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}·\sqrt{a+b}}=\frac{4\sqrt{a+b}}{{\left(\sqrt{a+b}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}$

е) $\frac{1}{\sqrt{a-b}}=\frac{1·\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}·\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt{a-b}}{{\left(\sqrt{a-b}\right)}^2}=\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}$

ж) $\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2·3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$

з) $\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3·2}=\frac{8\sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

и) $\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}·\sqrt{2}}{5\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{5·2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{x}{\sqrt{5}} $, нужно умножить ее числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{5} $. Это действие равносильно умножению дроби на 1 ($ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1 $), поэтому значение дроби не изменится.
$ \frac{x}{\sqrt{5}} = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{x\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{x\sqrt{5}}{5} $.
Ответ: $ \frac{x\sqrt{5}}{5} $

б) В дроби $ \frac{3}{\sqrt{b}} $ знаменатель содержит иррациональное выражение $ \sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{b} $, чтобы избавиться от корня в знаменателе (при условии, что $ b > 0 $).
$ \frac{3}{\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{b}}{b} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt{b}}{b} $

в) В дроби $ \frac{2}{7\sqrt{y}} $ иррациональность в знаменателе представлена множителем $ \sqrt{y} $. Для ее устранения умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{y} $ (при условии $ y > 0 $).
$ \frac{2}{7\sqrt{y}} = \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{7\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{7 \cdot y} = \frac{2\sqrt{y}}{7y} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{y}}{7y} $

г) Знаменатель дроби $ \frac{a}{b\sqrt{b}} $ содержит иррациональный множитель $ \sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{b} $ (при $ b > 0 $).
$ \frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot b} = \frac{a\sqrt{b}}{b^2} $.
Ответ: $ \frac{a\sqrt{b}}{b^2} $

д) В дроби $ \frac{4}{\sqrt{a+b}} $ знаменатель является квадратным корнем из выражения. Чтобы избавиться от корня, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{a+b} $ (при условии $ a+b > 0 $).
$ \frac{4}{\sqrt{a+b}} = \frac{4 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}} = \frac{4\sqrt{a+b}}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{4\sqrt{a+b}}{a+b} $

е) Знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{a-b}} $ представляет собой иррациональное выражение. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{a-b} $ для устранения корня (при $ a-b > 0 $).
$ \frac{1}{\sqrt{a-b}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a-b}}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{a-b}}{a-b} $

ж) В знаменателе дроби $ \frac{5}{2\sqrt{3}} $ есть иррациональный множитель $ \sqrt{3} $. Умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $.
$ \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} $.
Ответ: $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $

з) В дроби $ \frac{8}{3\sqrt{2}} $ знаменатель содержит иррациональный множитель $ \sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6} $.
Полученную дробь можно сократить на 2: $ \frac{8\sqrt{2} \div 2}{6 \div 2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} $.
Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3} $

и) Знаменатель дроби $ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}} $ содержит иррациональность $ \sqrt{2} $. Чтобы от нее избавиться, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5 \cdot 2}}{5 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt{10}}{10} $

425. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{m}{\sqrt{x}}=\frac{m\sqrt{x}}{\sqrt{x}·\sqrt{x}}=\frac{m\sqrt{x}}{x}$

б) $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $\frac{3}{5\sqrt{c}}=\frac{3\sqrt{c}}{5\sqrt{c}·\sqrt{c}}=\frac{3\sqrt{c}}{5c}$

г) $\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2·3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

д) $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2·3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

е) $\frac{5}{4\sqrt{15}}=\frac{5·\sqrt{15}}{4\sqrt{15}·\sqrt{15}}=\frac{5\sqrt{15}}{4·15}=\frac{\sqrt{15}}{4·3}=\frac{\sqrt{15}}{12}$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно домножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, которое позволит избавиться от корня в знаменателе. В данных примерах достаточно домножить на корень, стоящий в знаменателе.

а)

Дана дробь $ \frac{m}{\sqrt{x}} $.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{x} $:

$ \frac{m}{\sqrt{x}} = \frac{m \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{m\sqrt{x}}{x} $.

Предполагается, что $ x > 0 $.

Ответ: $ \frac{m\sqrt{x}}{x} $.

б)

Дана дробь $ \frac{1}{\sqrt{2}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

в)

Дана дробь $ \frac{3}{5\sqrt{c}} $.

Иррациональность в знаменателе создается множителем $ \sqrt{c} $. Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{c} $:

$ \frac{3}{5\sqrt{c}} = \frac{3 \cdot \sqrt{c}}{5\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{3\sqrt{c}}{5 \cdot c} = \frac{3\sqrt{c}}{5c} $.

Предполагается, что $ c > 0 $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{c}}{5c} $.

г)

Дана дробь $ \frac{a}{2\sqrt{3}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:

$ \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} $.

Ответ: $ \frac{a\sqrt{3}}{6} $.

д)

Дана дробь $ \frac{3}{2\sqrt{3}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:

$ \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} $.

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

е)

Дана дробь $ \frac{5}{4\sqrt{15}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{15} $:

$ \frac{5}{4\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{4\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{4 \cdot 15} = \frac{5\sqrt{15}}{60} $.

Сократим полученную дробь на 5:

$ \frac{5\sqrt{15}}{60} = \frac{\sqrt{15}}{12} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{15}}{12} $.

426. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{4}{\sqrt{3}+1}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1}= \\ =\frac{4(\sqrt{3}-1)}{2}=2(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}= \\ =\frac{\sqrt{2}+1}{1}=-1-\sqrt{2} \end{gathered}$$

в) $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$

г) $\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$

д) $\frac{33}{7-3\sqrt{3}}=\frac{33·(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})(7+3\sqrt{3})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{33(7+3\sqrt{3})}{7^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-9·3}=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-27}= \\ =\frac{33(7+3\sqrt{3})}{22}=\frac{3(7+3\sqrt{3})}{2}=\frac{21+9\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

е) $\frac{15}{2\sqrt{5}+5}=\frac{15(2\sqrt{2}-5)}{(2\sqrt{5}+5)(2\sqrt{5}-5)}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-5^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4·5-25}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20-25}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5}= \\ =-3(2\sqrt{5}-5)=-6\sqrt{5}+15=15-6\sqrt{5} \end{gathered}$$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{3}+1} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение. Сопряженным выражением для $ \sqrt{3}+1 $ является $ \sqrt{3}-1 $. Это делается для того, чтобы в знаменателе применить формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \cdot (\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} $

Сокращаем дробь на 2:

$ \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}-2 $

Ответ: $ 2\sqrt{3}-2 $

б) Для дроби $ \frac{1}{1-\sqrt{2}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 1-\sqrt{2} $ является $ 1+\sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2}) \cdot (1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1+\sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} $

Изменяем знак дроби:

$ \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -(1+\sqrt{2}) = -1-\sqrt{2} $

Ответ: $ -1-\sqrt{2} $

в) Для дроби $ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{x}-\sqrt{y} $ является $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $. Умножим числитель и знаменатель на него. Подразумевается, что $ x \ge 0, y \ge 0 $ и $ x \neq y $.

$ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y} $

г) Для дроби $ \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ является $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на него. Подразумевается, что $ a \ge 0, b \ge 0 $ и $ a \neq b $.

$ \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $

Ответ: $ \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $

д) Для дроби $ \frac{33}{7-3\sqrt{3}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 7-3\sqrt{3} $ является $ 7+3\sqrt{3} $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \frac{33 \cdot (7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3}) \cdot (7+3\sqrt{3})} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{7^2 - (3\sqrt{3})^2} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49 - 9 \cdot 3} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49 - 27} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22} $

Сокращаем дробь на 11:

$ \frac{3 \cdot 11 \cdot (7+3\sqrt{3})}{2 \cdot 11} = \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2} = \frac{21+9\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{21+9\sqrt{3}}{2} $

е) Для дроби $ \frac{15}{2\sqrt{5}+5} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 2\sqrt{5}+5 $ является $ 2\sqrt{5}-5 $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{15}{2\sqrt{5}+5} = \frac{15 \cdot (2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5}+5) \cdot (2\sqrt{5}-5)} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5})^2 - 5^2} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4 \cdot 5 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5} $

Сокращаем дробь на -5:

$ \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5} = -3(2\sqrt{5}-5) = -6\sqrt{5} + 15 = 15 - 6\sqrt{5} $

Ответ: $ 15-6\sqrt{5} $