Номер 422, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 422, страница 101.

422. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{b^2-5}{b-\sqrt{5}}=\frac{b^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{b-\sqrt{5}}=\frac{(b-\sqrt{5})(b+\sqrt{5})}{b-\sqrt{5}}= \\ =b+\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{m+\sqrt{6}}{6-m^2}=\frac{m+\sqrt{6}}{{\left(\sqrt{6}\right)}^2-m^2}= \\ =\frac{m+\sqrt{6}}{(\sqrt{6}-m)(\sqrt{6}+m)}=\frac{1}{\sqrt{6}-m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2-\sqrt{x}}{x-4}=\frac{2-\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2^2}=\frac{2-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}= \\ =\frac{-(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=-\frac{1}{\sqrt{x}+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b-9}{\sqrt{b}+3}=\frac{{\left(\sqrt{b}\right)}^2-3^2}{\sqrt{b}+3}= \\ =\frac{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)}{\sqrt{b}+3}=\sqrt{b}-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a-b}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}= \\ =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}=\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{{\left(2\sqrt{x}\right)}^2-{\left(3\sqrt{y}\right)}^2}= \\ =\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(2\sqrt{x}+3\sqrt{y})}= \\ =\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}} \end{gathered}$$

а) Исходная дробь: $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$.
Для сокращения дроби разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$. Тогда числитель примет вид: $b^2 - 5 = b^2 - (\sqrt{5})^2 = (b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})$.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b - \sqrt{5}}$
Сократим общий множитель $(b - \sqrt{5})$ в числителе и знаменателе:
$b + \sqrt{5}$.
Ответ: $b + \sqrt{5}$.

б) Исходная дробь: $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$.
Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов.
Представим $6$ как $(\sqrt{6})^2$. Тогда знаменатель примет вид: $6 - m^2 = (\sqrt{6})^2 - m^2 = (\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)$.
Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)}$
Так как $m + \sqrt{6} = \sqrt{6} + m$, сократим общий множитель $(\sqrt{6} + m)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{\sqrt{6} - m}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$.

в) Исходная дробь: $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$.
Разложим знаменатель $x-4$ на множители по формуле разности квадратов. Учитывая, что в выражении есть $\sqrt{x}$, область определения $x \ge 0$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2$ и $4 = 2^2$.
$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.
Подставим в дробь:
$\frac{2 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$
Заметим, что числитель $2 - \sqrt{x}$ и множитель в знаменателе $(\sqrt{x} - 2)$ отличаются только знаком. Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $2 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 2)$.
$\frac{-(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - 2)$:
$-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$.
Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$.

г) Исходная дробь: $\frac{b - 9}{\sqrt{b} + 3}$.
Разложим числитель $b-9$ на множители по формуле разности квадратов. При $b \ge 0$, имеем $b = (\sqrt{b})^2$ и $9 = 3^2$.
$b - 9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{b} + 3)$:
$\sqrt{b} - 3$.
Ответ: $\sqrt{b} - 3$.

д) Исходная дробь: $\frac{a - b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$.
Разложим числитель $a - b$ на множители по формуле разности квадратов. При $a \ge 0$ и $b \ge 0$, имеем $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.
$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{b} + \sqrt{a}$), сократим общий множитель:
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

е) Исходная дробь: $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$.
Разложим знаменатель $4x - 9y$ на множители по формуле разности квадратов. При $x \ge 0$ и $y \ge 0$, имеем $4x = (2\sqrt{x})^2$ и $9y = (3\sqrt{y})^2$.
$4x - 9y = (2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})$.
Подставим в дробь:
$\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})}$
Сократим общий множитель $(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})$:
$\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$.