Номер 428, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 428, страница 102.

428. Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:

a) $\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\frac{\sqrt{5}+2}{1}=\sqrt{5}+2 \\ \begin{array}{cc}2<\sqrt{5}<3; & 2+2<\sqrt{5}+2<3+2;\\ & 4<\sqrt{5}+2<5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: между 4 и 5

б) $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3)}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}= \\ =\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{3} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\\ 1<\sqrt{3}<2\end{array}\\ & \overline{3<\sqrt{5}+\sqrt{3}<5}\end{array} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2,2<\sqrt{5}<2,3\\ 1,7<\sqrt{3}<1,8\end{array}\\ & \overline{3,9<\sqrt{5}+\sqrt{3}<4,1}\end{array} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2,23<\sqrt{5}<2,24\\ 1,73<\sqrt{3}<1,74\end{array}\\ & \overline{3,96<\sqrt{5}+\sqrt{3}<3,98}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: между 4 и 5

в) $\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}3<\sqrt{10}<4\\ -3<-\sqrt{7}<-2\end{array}\\ & \overline{0<\sqrt{10}-\sqrt{7}<2}\end{array} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}3,1<\sqrt{10}<3,2\\ -2,7<-\sqrt{7}<-2,6\end{array}\\ & \overline{0,4<\sqrt{10}-\sqrt{7}<0,6}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: между 0 и 1

г) $\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{5\sqrt{3}-10+9-6\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2^2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{3-4}= \\ =\frac{-(1+\sqrt{3})}{-1}=\sqrt{3}+1 \\ 1<\sqrt{3}<2 \\ 2<\sqrt{3}+1<3 \end{gathered}$$

Ответ: между 2 и 3

а) Чтобы определить, между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения $ \frac{1}{\sqrt{5}-2} $, сначала избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $ (\sqrt{5}+2) $.

Выполним преобразование:

$ \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \frac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2 $.

Теперь оценим значение выражения $ \sqrt{5}+2 $. Известно, что $ 4 < 5 < 9 $, следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} $, что равносильно $ 2 < \sqrt{5} < 3 $. Прибавим ко всем частям этого двойного неравенства число 2:

$ 2+2 < \sqrt{5}+2 < 3+2 $

$ 4 < \sqrt{5}+2 < 5 $

Таким образом, значение выражения заключено между числами 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ (\sqrt{5}+\sqrt{3}) $:

$ \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3} $.

Теперь оценим значение выражения $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $. Мы знаем, что $ 2 < \sqrt{5} < 3 $ и $ 1 < \sqrt{3} < 2 $. Сложение этих неравенств дает $ 3 < \sqrt{5}+\sqrt{3} < 5 $, что не позволяет определить два последовательных целых числа. Поэтому используем более точный метод сравнения. Сравним $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $ с числом 4. Так как обе части положительны, можно возвести их в квадрат:

$ (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 $ vs $ 4^2 $

$ (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 $ vs $ 16 $

$ 5 + 2\sqrt{15} + 3 $ vs $ 16 $

$ 8 + 2\sqrt{15} $ vs $ 16 $

$ 2\sqrt{15} $ vs $ 8 $

$ \sqrt{15} $ vs $ 4 $

$ 15 < 16 $, следовательно, $ \sqrt{15} < 4 $, а значит $ \sqrt{5}+\sqrt{3} < 4 $.

Теперь сравним $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $ с числом 3. Возведем в квадрат:

$ (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 $ vs $ 3^2 $

$ 8 + 2\sqrt{15} $ vs $ 9 $

$ 2\sqrt{15} $ vs $ 1 $

Очевидно, что $ 2\sqrt{15} > 1 $, так как $ \sqrt{15} > \sqrt{1} $. Значит $ \sqrt{5}+\sqrt{3} > 3 $.

Из полученных неравенств $ 3 < \sqrt{5}+\sqrt{3} < 4 $ следует, что значение выражения находится между 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

в) Упростим выражение $ \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} $, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{10}-\sqrt{7}) $:

$ \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3} = \sqrt{10}-\sqrt{7} $.

Оценим значение $ \sqrt{10}-\sqrt{7} $. Поскольку $ 10 > 7 $, то $ \sqrt{10} > \sqrt{7} $, и разность $ \sqrt{10}-\sqrt{7} $ положительна, то есть $ \sqrt{10}-\sqrt{7} > 0 $. Сравним $ \sqrt{10}-\sqrt{7} $ с 1. Предположим, что $ \sqrt{10}-\sqrt{7} < 1 $. Перепишем неравенство как $ \sqrt{10} < 1+\sqrt{7} $. Поскольку обе части положительны, возведем их в квадрат:

$ (\sqrt{10})^2 < (1+\sqrt{7})^2 $

$ 10 < 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 $

$ 10 < 1 + 2\sqrt{7} + 7 $

$ 10 < 8 + 2\sqrt{7} $

$ 2 < 2\sqrt{7} $

$ 1 < \sqrt{7} $

Последнее неравенство верно, так как $ 1^2 = 1 $, а $ (\sqrt{7})^2 = 7 $. Значит, исходное предположение было верным.

Таким образом, $ 0 < \sqrt{10}-\sqrt{7} < 1 $, и значение выражения заключено между 0 и 1.

Ответ: 0 и 1.

г) Преобразуем выражение $ \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2} $. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ (2-\sqrt{3}) $:

$ \frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(5+3\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{5 \cdot 2 - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 2 - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{10 - 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3 \cdot 3}{4-3} = \frac{10 + \sqrt{3} - 9}{1} = 1+\sqrt{3} $.

Теперь оценим значение $ 1+\sqrt{3} $. Известно, что $ 1 < 3 < 4 $, значит $ \sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} $, то есть $ 1 < \sqrt{3} < 2 $. Прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:

$ 1+1 < 1+\sqrt{3} < 1+2 $

$ 2 < 1+\sqrt{3} < 3 $

Следовательно, значение выражения заключено между целыми числами 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.