Номер 420, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 420, страница 100.

420. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:

a) $x^2-7=x^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2=(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})$

б) $5-c^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2-c=(\sqrt{5}-c)(\sqrt{5}+c)$

в) $4a^2-3={\left(2a\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=(2a-\sqrt{3})(2a+\sqrt{3})$

г) $11-16b^2={\left(\sqrt{11}\right)}^2-{\left(4b\right)}^2=(\sqrt{11}-4b)(\sqrt{11}+4b)$

д) $y-3={\left(\sqrt{y}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=(\sqrt{y}-\sqrt{3})(\sqrt{y}+\sqrt{3}),$ где y≥0

е) $x-y={\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}),$ где x>0 y>0

Для разложения на множители во всех пунктах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $x^2 - 7$

Чтобы применить формулу, представим оба члена выражения в виде квадратов. $x^2$ уже является квадратом $x$. Число $7$ можно представить как квадрат его квадратного корня: $7 = (\sqrt{7})^2$. Таким образом, выражение можно переписать как $x^2 - (\sqrt{7})^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $a=x$ и $b=\sqrt{7}$, получаем: $x^2 - (\sqrt{7})^2 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$.

Ответ: $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$

б) $5 - c^2$

Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$, а $c^2$ является квадратом $c$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{5})^2 - c^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $a=\sqrt{5}$ и $b=c$, получаем: $(\sqrt{5})^2 - c^2 = (\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$.

Ответ: $(\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$

в) $4a^2 - 3$

Представим каждый член выражения в виде квадрата. $4a^2$ — это квадрат выражения $2a$, т.е. $(2a)^2$. Число $3$ — это квадрат $\sqrt{3}$, т.е. $(\sqrt{3})^2$. Выражение принимает вид: $(2a)^2 - (\sqrt{3})^2$. Применяя формулу, где $a=2a$ и $b=\sqrt{3}$, получаем: $(2a)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$.

Ответ: $(2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$

г) $11 - 16b^2$

Представим члены выражения в виде квадратов. $11 = (\sqrt{11})^2$ и $16b^2 = (4b)^2$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{11})^2 - (4b)^2$. Применяя формулу, где $a=\sqrt{11}$ и $b=4b$, получаем: $(\sqrt{11})^2 - (4b)^2 = (\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$.

Ответ: $(\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$

д) $y - 3$, где $y \ge 0$

Поскольку $y \ge 0$, мы можем представить $y$ как квадрат его квадратного корня: $y = (\sqrt{y})^2$. Также представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{y})^2 - (\sqrt{3})^2$. Применяя формулу, где $a=\sqrt{y}$ и $b=\sqrt{3}$, получаем: $(\sqrt{y})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$.

Ответ: $(\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$

е) $x - y$, где $x > 0$ и $y > 0$

Поскольку $x > 0$ и $y > 0$, мы можем представить каждую переменную как квадрат ее квадратного корня: $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2$. Применяя формулу, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$, получаем: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Ответ: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$