Страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

411. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см² со сторонами a см, b см и c см можно вычислить по формуле Герона: где p — полупериметр треугольника.

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

а) 12 см, 16 см, 24 см;

б) 18 см, 22 см, 26 см.

(Можете воспользоваться калькулятором.)

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.

2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.

3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \\ \mathbf{\text{а) }}a=12см, b=16см, c=24см \\ p=\frac{12+16+24}{2}=\frac{52}{2}=26 \left(\text{см}\right) \\ S=\sqrt{26\left(26-12\right)\left(26-16\right)\left(26-24\right)}= \\ =\sqrt{26·14·10·2}=\sqrt{7280}\approx 85,3 \left({\text{см}}^2\right) \\ \mathbf{\text{б) }}a=18см, b=22см, c=26см \\ p=\frac{18+22+26}{2}=\frac{66}{2}=33 \left(\text{см}\right) \\ S=\sqrt{33\left(33-18\right)\left(33-22\right)\left(33-26\right)}= \\ =\sqrt{33·15·11·7}=\sqrt{38115}\approx 195 \left({\text{см}}^2\right) \end{gathered}$$

3) a, b, c - стороны исходного треугольника, 2a, 2b, 2c - стороны увеличенного треугольника

$$\begin{gathered} p=\frac{a+b+c}{2}; \\ {p}_1=\frac{2a+2b+2c}{2}=\frac{2(a+b+c)}{2}=2p \\ S=\sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}= \\ =\sqrt{2p·2(p-a)·2(p-b)·2(p-c)}= \\ =\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}= \\ =4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

Ответ: в 4 раза

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр, который вычисляется как $p = \frac{a+b+c}{2}$.

а)

Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 12$ см, $b = 16$ см и $c = 24$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{12 + 16 + 24}{2} = \frac{52}{2} = 26$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)}$
$S = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2}$

3. Упростим выражение под корнем, разложив числа на множители:
$S = \sqrt{(2 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 2} = \sqrt{2^4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13} = \sqrt{16 \cdot 455}$
$S = 4\sqrt{455}$ см².

Приближенное значение: $S \approx 4 \cdot 21,33 \approx 85,32$ см².

Ответ: $S = 4\sqrt{455}$ см² (приблизительно 85,32 см²).

б)

Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 18$ см, $b = 22$ см и $c = 26$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)}$
$S = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7}$

3. Упростим выражение под корнем, разложив числа на множители:
$S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 11 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 121 \cdot 35}$
$S = 3 \cdot 11\sqrt{35} = 33\sqrt{35}$ см².

Приближенное значение: $S \approx 33 \cdot 5,916 \approx 195,23$ см².

Ответ: $S = 33\sqrt{35}$ см² (приблизительно 195,23 см²).

3)

Обсудим, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза.

Предположение: Если линейные размеры фигуры (в данном случае стороны треугольника) увеличить в $k$ раз, то ее площадь увеличится в $k^2$ раз. В нашем случае стороны увеличиваются в 2 раза, поэтому можно предположить, что площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза.

Необходимые преобразования (доказательство):

Пусть исходный треугольник имеет стороны $a, b, c$. Его полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, а площадь $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Новый треугольник будет иметь стороны $a' = 2a$, $b' = 2b$, $c' = 2c$.

Найдем его полупериметр $p'$:
$p' = \frac{a' + b' + c'}{2} = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = 2 \cdot \left(\frac{a+b+c}{2}\right) = 2p$.
Получается, что полупериметр нового треугольника также в 2 раза больше полупериметра исходного.

Теперь найдем площадь нового треугольника $S'$ по формуле Герона:
$S' = \sqrt{p'(p'-a')(p'-b')(p'-c')}$
Подставим выражения для $p'$, $a'$, $b'$, $c'$:
$S' = \sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}$

Вынесем общий множитель 2 из каждой скобки под корнем:
$S' = \sqrt{2p \cdot 2(p-a) \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c)}$
$S' = \sqrt{16 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Вынесем множитель 16 из-под знака корня:
$S' = \sqrt{16} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Так как $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = S$, получаем:
$S' = 4 \cdot S$

Таким образом, математические преобразования подтверждают наше предположение.

Ответ: Если каждую сторону треугольника увеличить в 2 раза, его площадь увеличится в 4 раза.

412. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — 57 числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?

Пусть x книг учащиеся переплели в первый день, (x+12) книг - во второй и $\frac{5}{7}·(x+x+12)$ книг - в третий день.

Зная, что за три дня они переплели 144 книги, составим и решим уравнение.

1) $x+x+12+\frac{5}{7}(x+x+12)=144$

$$\begin{gathered} 2x+12+\frac{5}{7}(2x+12)=144 \\ (2x+12)(1+\frac{5}{7})=144 \\ (2x+12)·\frac{12}{7}=144 \\ (2x+12)=144:\frac{12}{7} \\ 2x+12=144·\frac{7}{12} \\ 2x+12=84 \\ 2x=84-12 \\ 2x=72 \\ x=36 \end{gathered}$$

2) 36+12=48 (км) - во второй день

3) $\frac{5}{7}·(36+48)=\frac{5}{7}·84=5·12=60 \left(\text{км}\right)$ - в третий день

Ответ: 36, 48 и 60 книг

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг, которое учащиеся переплели в первый день.

Согласно условию, во второй день они переплели на 12 книг больше, чем в первый. Значит, количество книг за второй день составляет $x + 12$.

Суммарное количество книг, переплетенных за первые два дня, равно: $x + (x + 12) = 2x + 12$.

В третий день учащиеся переплели $\frac{5}{7}$ от числа книг, переплетенных в первый и во второй дни вместе. Таким образом, количество книг за третий день составляет $\frac{5}{7}(2x + 12)$.

Общее количество книг, переплетенных за три дня, равно 144. Мы можем составить уравнение, сложив количество книг за каждый из трех дней:

День 1 + День 2 + День 3 = 144

$x + (x + 12) + \frac{5}{7}(2x + 12) = 144$

Упростим левую часть уравнения. Сгруппируем первые два слагаемых:

$(2x + 12) + \frac{5}{7}(2x + 12) = 144$

Вынесем общий множитель $(2x + 12)$ за скобки:

$(2x + 12) \cdot (1 + \frac{5}{7}) = 144$

Выполним сложение в скобках:

$(2x + 12) \cdot (\frac{7}{7} + \frac{5}{7}) = 144$

$(2x + 12) \cdot \frac{12}{7} = 144$

Чтобы найти $(2x + 12)$, разделим обе части уравнения на $\frac{12}{7}$:

$2x + 12 = 144 : \frac{12}{7}$

$2x + 12 = 144 \cdot \frac{7}{12}$

$2x + 12 = 12 \cdot 7$

$2x + 12 = 84$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = 84 - 12$

$2x = 72$

$x = 72 : 2$

$x = 36$

Мы нашли, что в первый день было переплетено 36 книг.

Теперь найдем количество книг за второй и третий дни:

• Второй день: $x + 12 = 36 + 12 = 48$ книг.

• Третий день: $\frac{5}{7}(2 \cdot 36 + 12) = \frac{5}{7}(72 + 12) = \frac{5}{7}(84) = 5 \cdot \frac{84}{7} = 5 \cdot 12 = 60$ книг.

Проверим, что общее количество книг равно 144:

$36 + 48 + 60 = 84 + 60 = 144$.

Расчеты верны.

Ответ: в первый день было переплетено 36 книг, во второй день — 48 книг, а в третий день — 60 книг.

413. Решите уравнение:

a) $\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{4x-1}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{5-x}{9}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·36$}\right.$

$$\begin{gathered} 3(4x-1)+9·7=4(5-x) \\ 12x-3+63=20-4x \\ 12x+60=20-4x \\ 12x+4x=20-60 \\ 16x=-40 \\ x=-\frac{40}{16} \\ x=-\frac{5}{2} \\ x=-2,5 \end{gathered}$$

Ответ: -2,5

б) $\frac{2x-9}{6}-\frac{2(5x+3)}{15}=\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{1}{2}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·30$}\right.$

$$\begin{gathered} 5(2x-9)-2·2(5x+3)=15 \\ 10x-45-20x-12=15 \\ -10x-57=15 \\ -10x=72 \\ x=-7,2 \end{gathered}$$

Ответ: -7,2

а) $ \frac{4x-1}{12} + \frac{7}{4} = \frac{5-x}{9} $

Чтобы решить данное уравнение, необходимо избавиться от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12, 4 и 9.

Разложим знаменатели на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$4 = 2^2$

$9 = 3^2$

НОК(12, 4, 9) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Теперь умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:

$ 36 \cdot \left( \frac{4x-1}{12} + \frac{7}{4} \right) = 36 \cdot \frac{5-x}{9} $

$ \frac{36(4x-1)}{12} + \frac{36 \cdot 7}{4} = \frac{36(5-x)}{9} $

Сократим дроби, разделив 36 на каждый из знаменателей:

$ 3(4x-1) + 9(7) = 4(5-x) $

Раскроем скобки:

$ 12x - 3 + 63 = 20 - 4x $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ 12x + 60 = 20 - 4x $

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$ 12x + 4x = 20 - 60 $

$ 16x = -40 $

Найдем $x$, разделив обе части на 16:

$ x = \frac{-40}{16} $

Сократим дробь на 8:

$ x = -\frac{5}{2} = -2.5 $

Ответ: $-2.5$

б) $ \frac{2x-9}{6} - \frac{2(5x+3)}{15} = \frac{1}{2} $

Сначала упростим числитель второй дроби, раскрыв скобки:

$ \frac{2x-9}{6} - \frac{10x+6}{15} = \frac{1}{2} $

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 15 и 2.

Разложим знаменатели на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

$2 = 2$

НОК(6, 15, 2) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \left( \frac{2x-9}{6} - \frac{10x+6}{15} \right) = 30 \cdot \frac{1}{2} $

$ \frac{30(2x-9)}{6} - \frac{30(10x+6)}{15} = \frac{30}{2} $

Сократим дроби:

$ 5(2x-9) - 2(10x+6) = 15 $

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью:

$ 10x - 45 - (20x + 12) = 15 $

$ 10x - 45 - 20x - 12 = 15 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (10x - 20x) + (-45 - 12) = 15 $

$ -10x - 57 = 15 $

Перенесем свободный член в правую часть:

$ -10x = 15 + 57 $

$ -10x = 72 $

Найдем $x$, разделив обе части на -10:

$ x = \frac{72}{-10} = -7.2 $

Ответ: $-7.2$