Страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

389. Упростите выражение:

a) $\sqrt{a^2}=\left|a\right|=a,$ если a>0

б) $\sqrt{n^2}=\left|n\right|=-n,$ если n<0

в) $3\sqrt{c^2}=3\left|c\right|=3c,$ если c≥0

г) $-5\sqrt{y^2}=-5\left|y\right|=-5y,$ если y>0

д) $\sqrt{36x^2}=\sqrt{36}·\sqrt{x^2}=6\left|x\right|=-6x,$ если x≤0

е) $-\sqrt{9y^2}=-\sqrt{9}·\sqrt{y^2}=-3\left|y\right|=3y,$ если y<0

ж) $-5\sqrt{4x^2}=-5\sqrt{4}·\sqrt{x^2}=-5·2\left|x\right|=-10x,$ если x≥0

з) $0,5\sqrt{16a^2}=0,5·\sqrt{16}·\sqrt{a^2}=0,5·4·\left|a\right|=-2a,$ если a<0

а) Для упрощения выражения $\sqrt{a^2}$ воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = |a|$. Согласно условию, переменная $a$ является положительным числом ($a > 0$). По определению модуля, если число положительное, его модуль равен самому числу. Следовательно, $|a| = a$.

Ответ: $a$

б) Упростим выражение $\sqrt{n^2}$. Применяя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $\sqrt{n^2} = |n|$. В условии указано, что $n < 0$, то есть $n$ — отрицательное число. По определению модуля, для отрицательного числа $n$ его модуль равен противоположному числу, то есть $|n| = -n$.

Ответ: $-n$

в) Рассмотрим выражение $3\sqrt{c^2}$. Сначала упростим корень: $\sqrt{c^2} = |c|$. Тогда выражение примет вид $3 \cdot |c|$. По условию $c \ge 0$ (c — неотрицательное число). Для любого неотрицательного числа его модуль равен самому числу, поэтому $|c| = c$. В результате получаем $3c$.

Ответ: $3c$

г) Дано выражение $-5\sqrt{y^2}$. Упростим его, используя $\sqrt{y^2} = |y|$. Выражение преобразуется к виду $-5|y|$. По условию $y > 0$, следовательно $|y| = y$. Подставив это в выражение, получаем $-5y$.

Ответ: $-5y$

д) Упростим выражение $\sqrt{36x^2}$. Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$) и тождество $\sqrt{x^2}=|x|$. Получаем: $\sqrt{36x^2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{x^2} = 6|x|$. По условию $x \le 0$, то есть $x$ — неположительное число. Для таких чисел модуль равен противоположному числу: $|x| = -x$. Следовательно, итоговое выражение равно $6(-x) = -6x$.

Ответ: $-6x$

е) Рассмотрим выражение $-\sqrt{9y^2}$. Упростим подкоренное выражение и вынесем константу: $-\sqrt{9y^2} = -\sqrt{9}\sqrt{y^2} = -3|y|$. По условию $y < 0$. Для отрицательного $y$ модуль равен $|y| = -y$. Подставив, получим: $-3(-y) = 3y$.

Ответ: $3y$

ж) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$. Сначала преобразуем корень: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4}\sqrt{x^2} = 2|x|$. Исходное выражение принимает вид $-5 \cdot (2|x|) = -10|x|$. Условие $x \ge 0$ означает, что $x$ — неотрицательное число, поэтому $|x|=x$. В итоге получаем $-10x$.

Ответ: $-10x$

з) Упростим выражение $0,5\sqrt{16a^2}$. Преобразуем корень: $\sqrt{16a^2} = \sqrt{16}\sqrt{a^2} = 4|a|$. Тогда исходное выражение равно $0,5 \cdot (4|a|) = 2|a|$. По условию $a < 0$, значит $a$ — отрицательное число. Для него $|a| = -a$. Подставляя, получаем итоговый результат $2(-a) = -2a$.

Ответ: $-2a$

390. Упростите выражение a² - 4a + 4 зная, что:

а) 0 ≤ a ‹ 2;

б) a ≥ 2.

a) $\sqrt{a^2-4a+4}=\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}=\left|a-2\right|=-a+2=2-a,$ т.к., если 0≤a<2, то a-2<0

б) $\sqrt{a^2-4a+4}=\sqrt{{(a-2)}^2}=\left|a-2\right|=a-2,$ так как, если a≥2, то a-2≥0

Для упрощения выражения $\sqrt{a^2 - 4a + 4}$ сначала преобразуем подкоренное выражение. Заметим, что $a^2 - 4a + 4$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, получаем:
$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $\sqrt{(a-2)^2}$.
По свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно, наше выражение равно $|a-2|$.
Теперь рассмотрим каждый из двух случаев для раскрытия модуля.

а) Дано условие $0 \le a < 2$.
При этом условии значение выражения $a-2$ будет отрицательным, так как $a$ меньше 2.
Если $a-2 < 0$, то по определению модуля $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.
Ответ: $2-a$.

б) Дано условие $a \ge 2$.
При этом условии значение выражения $a-2$ будет неотрицательным (то есть больше или равно нулю).
Если $a-2 \ge 0$, то по определению модуля $|a-2| = a-2$.
Ответ: $a-2$.

391. (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения 9 - 6 x + x при x, равном: а) 2,71; б) 12,62.

1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.

2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните вычисления.

3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

$$\begin{gathered} \sqrt{9-6\sqrt{x}+x}=\sqrt{3^2-2·3\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^2}= \\ =\sqrt{{\left(3-\sqrt{x}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{x}\right| \end{gathered}$$

при x=2,71 $\left|3-\sqrt{2,71}\right|\approx \left|3-1,6\right|=1,4$

при x=12,62 $\left|3-\sqrt{12,62}\right|\approx \left|3-3,6\right|=\left|-0,6\right|=0,6$

1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.

Рассмотрим выражение $\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x}$.

Подкоренное выражение $9 - 6\sqrt{x} + x$ представляет собой трехчлен. Попробуем свернуть его по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим $9$ как $3^2$ и $x$ как $(\sqrt{x})^2$. Тогда выражение можно переписать в виде: $3^2 - 6\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$.

Сравним с формулой: $a^2 = 3^2 \implies a=3$, $b^2 = (\sqrt{x})^2 \implies b=\sqrt{x}$.

Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} = 6\sqrt{x}$.

Таким образом, подкоренное выражение является полным квадратом: $9 - 6\sqrt{x} + x = (3 - \sqrt{x})^2$.

Теперь исходное выражение можно упростить:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x} = \sqrt{(3 - \sqrt{x})^2}$

Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(3 - \sqrt{x})^2} = |3 - \sqrt{x}|$

Ответ: Упрощенное выражение имеет вид $|3 - \sqrt{x}|$.

2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните вычисления.

Для вычислений используем упрощенное выражение $|3 - \sqrt{x}|$.

а) Найдем значение выражения при $x = 2,71$.

Подставляем значение в формулу: $|3 - \sqrt{2,71}|$.

Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо сравнить значения $3$ и $\sqrt{2,71}$. Так как $3^2 = 9$, а $2,71 < 9$, то $3 > \sqrt{2,71}$. Это означает, что разность $3 - \sqrt{2,71}$ положительна.

Следовательно, $|3 - \sqrt{2,71}| = 3 - \sqrt{2,71}$.

Используя калькулятор, находим значение корня: $\sqrt{2,71} \approx 1,6462$.

Вычисляем результат: $3 - 1,6462 = 1,3538$.

б) Найдем значение выражения при $x = 12,62$.

Подставляем значение в формулу: $|3 - \sqrt{12,62}|$.

Сравним значения $3$ и $\sqrt{12,62}$. Так как $3^2 = 9$, а $12,62 > 9$, то $3 < \sqrt{12,62}$. Это означает, что разность $3 - \sqrt{12,62}$ отрицательна.

Следовательно, $|3 - \sqrt{12,62}| = -(3 - \sqrt{12,62}) = \sqrt{12,62} - 3$.

Используя калькулятор, находим значение корня: $\sqrt{12,62} \approx 3,5525$.

Вычисляем результат: $3,5525 - 3 = 0,5525$.

Ответ: а) При $x=2,71$ значение выражения равно $1,3538$. б) При $x=12,62$ значение выражения равно $0,5525$.

3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

Для проверки подставим значения $x$ в исходное (неупрощенное) выражение $\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x}$ и сравним результаты с полученными выше.

Проверка для случая а) $x = 2,71$:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{2,71} + 2,71} = \sqrt{11,71 - 6\sqrt{2,71}}$

С помощью калькулятора: $\sqrt{11,71 - 6 \times 1,646207...} = \sqrt{11,71 - 9,877243...} = \sqrt{1,832757...} \approx 1,3538$.

Результат совпал с вычисленным ранее ($1,3538$).

Проверка для случая б) $x = 12,62$:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{12,62} + 12,62} = \sqrt{21,62 - 6\sqrt{12,62}}$

С помощью калькулятора: $\sqrt{21,62 - 6 \times 3,552463...} = \sqrt{21,62 - 21,314778...} = \sqrt{0,305222...} \approx 0,5525$.

Результат совпал с вычисленным ранее ($0,5525$).

Ответ: Проверка подтверждает, что как упрощение выражения, так и последующие вычисления были выполнены правильно.

392. Верно ли равенство:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1-2\sqrt{3}}=\sqrt{{(\sqrt{3}-1)}^2}= \\ =\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1 \end{gathered}$$

Ответ: верно

б) $$\begin{gathered} \sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2·2\sqrt{5}}=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}= \\ =\left|\sqrt{5}-2\right|=\sqrt{5}-2\ne 2-\sqrt{5} \end{gathered}$$

Ответ: неверно

а)

Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна, и что ее квадрат равен подкоренному выражению левой части.

1. Проверим знак выражения $\sqrt{3} - 1$. Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{3} > 1$. Следовательно, разность $\sqrt{3} - 1 > 0$. Выражение в правой части положительно.

2. Возведем правую часть равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.

Полученное выражение $4 - 2\sqrt{3}$ в точности совпадает с подкоренным выражением в левой части. Поскольку оба условия (неотрицательность правой части и равенство ее квадрата подкоренному выражению) выполнены, равенство верно.

Альтернативный способ: преобразуем левую часть. Заметим, что подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:
$4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.
Тогда левая часть равна:
$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$.
Поскольку, как мы уже выяснили, $\sqrt{3} - 1 > 0$, то $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б)

Проверим верность равенства $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5}$.

По определению, арифметический квадратный корень (обозначаемый знаком $\sqrt{}$) — это неотрицательное число. Проверим знак выражения в правой части: $2 - \sqrt{5}$.

Сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$. Для этого сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $4 < 5$, то и $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом.

Левая часть равенства, $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$, по определению не может быть отрицательной, а правая часть, $2 - \sqrt{5}$, — отрицательна. Неотрицательное число не может равняться отрицательному, поэтому равенство неверно.

Для справки: можно упростить левую часть. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Чтобы получить $-4\sqrt{5}$ как удвоенное произведение, нужно $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Значит, искомые числа - это 2 и $\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов: $2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Это совпадает с первым членом подкоренного выражения.
Следовательно, $9 - 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{5} - 2)^2$.
Тогда левая часть равна:
$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$.
Поскольку $\sqrt{5} > 2$, то $\sqrt{5} - 2 > 0$, и $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.
Таким образом, правильное равенство таково: $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$.
Так как $\sqrt{5} - 2 \neq 2 - \sqrt{5}$, исходное равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

393. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2·2\sqrt{3}}= \\ =\sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2}=\left|2+\sqrt{3}\right|=2+\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{{(1-\sqrt{5})}^2}=\left|1-\sqrt{5}\right|=-(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{6}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}^2}=\left|\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|=\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{3-\sqrt{8}}=\sqrt{3-\sqrt{4·2}}=\sqrt{3-\sqrt{4}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}}=\sqrt{{(1-\sqrt{2})}^2}= \\ =\left|1-\sqrt{2}\right|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1 \end{gathered}$$

а) Упростим выражение $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Для того чтобы упростить данное выражение, представим подкоренное выражение $7+4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Преобразуем слагаемое с корнем к виду $2ab$: $4\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Из этого можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 7.

$a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Равенство выполняется, значит, мы можем записать: $7+4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$.

Так как $2+\sqrt{3}$ — положительное число, корень из квадрата этого числа равен самому числу: $\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

б) Упростим выражение $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$.

Представим подкоренное выражение $6-2\sqrt{5}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Слагаемое $-2\sqrt{5}$ уже имеет вид $-2ab$, где можно предположить, что $a=\sqrt{5}$ и $b=1$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 6.

$a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5+1=6$.

Равенство выполняется, значит: $6-2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5}-1)^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}$.

Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, то $\sqrt{5}-1 > 0$. Значит, $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = \sqrt{5}-1$.

Ответ: $\sqrt{5}-1$.

в) Упростим выражение $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$.

Представим подкоренное выражение $5+2\sqrt{6}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Слагаемое $2\sqrt{6}$ представим в виде $2ab$: $2\sqrt{6} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$. Отсюда можно предположить, что $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 5.

$a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3+2=5$.

Равенство выполняется, значит: $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$.

Так как $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ — положительное число, то $\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

г) Упростим выражение $\sqrt{3-\sqrt{8}}$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение, вынеся множитель из-под внутреннего корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$.

Представим $3-2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Слагаемое $-2\sqrt{2}$ представим в виде $-2ab$: $-2\sqrt{2} = -2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1$. Отсюда можно предположить, что $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 3.

$a^2+b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2+1=3$.

Равенство выполняется, значит: $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2}-1)^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{3-\sqrt{8}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $\sqrt{2}-1 > 0$. Значит, $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$.

Ответ: $\sqrt{2}-1$.

394. Найдите значение корня:

a) $\sqrt{2^4}=\sqrt{{\left(2^2\right)}^2}=2^2=4$

б) $\sqrt{3^4}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}=3^2=9$

в) $\sqrt{2^6}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}=2^3=8$

г) $\sqrt{{10}^8}=\sqrt{{\left({10}^4\right)}^2}={10}^4=10000$

д) $\sqrt{{\left(-5\right)}^4}=\sqrt{{\left({\left(-5\right)}^2\right)}^2}=\left|{\left(-5\right)}^2\right|=\left|25\right|=25$

е) $\sqrt{{\left(-2\right)}^8}=\sqrt{{\left({\left(-2\right)}^4\right)}^2}=\left|{\left(-2\right)}^4\right|=\left|16\right|=16$

ж) $\sqrt{3^4·5^2}=\sqrt{3^4}·\sqrt{5^2}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·5=3^2·5=9·5=45$

з) $$\begin{gathered} \sqrt{2^6·7^4}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2·{\left(7^2\right)}^2}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}·\sqrt{{\left(7^2\right)}^2}= \\ =2^3·7^2=8·49=392 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение квадратного корня из числа, возведенного в степень, необходимо показатель этой степени разделить на 2. Это следует из свойства $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$. Так как основание степени (число 2) положительное, знак модуля можно опустить.

$\sqrt{2^4} = 2^{4/2} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

б) Решение аналогично предыдущему пункту. Делим показатель степени на 2.

$\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

в) Используем то же свойство, что и в предыдущих примерах.

$\sqrt{2^6} = 2^{6/2} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

г) Снова применяем правило деления показателя степени на 2.

$\sqrt{10^8} = 10^{8/2} = 10^4 = 10000$.

Ответ: 10000

д) В данном случае под корнем находится отрицательное число, возведенное в четную степень (4). Результат возведения отрицательного числа в четную степень будет положительным: $(-a)^{2n} = a^{2n}$.

$\sqrt{(-5)^4} = \sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

е) Аналогично предыдущему примеру, степень 8 является четной, поэтому $(-2)^8 = 2^8$.

$\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

ж) Здесь мы используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). После этого для каждого множителя применяем правило извлечения корня из степени.

$\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 3^{4/2} \cdot 5^{2/2} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

з) Применяем те же свойства, что и в пункте ж).

$\sqrt{2^6 \cdot 7^4} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{7^4} = 2^{6/2} \cdot 7^{4/2} = 2^3 \cdot 7^2 = 8 \cdot 49 = 392$.

Ответ: 392

395. Вычислите:

a) $\sqrt{{11}^4}=\sqrt{{\left({11}^2\right)}^2}={11}^2=121$

б) $\sqrt{4^6}=\sqrt{{\left(4^3\right)}^2}=4^3=64$

в) $\sqrt{{(-3)}^6}=\sqrt{{\left({\left(-3\right)}^3\right)}^2}=\left|{\left(-3\right)}^3\right|=\left|-27\right|=27$

г) $\sqrt{{\left(-6\right)}^4}=\sqrt{{\left({\left(-6\right)}^2\right)}^2}=\sqrt{{36}^2}=36$

д) $\sqrt{2^8·3^2}=\sqrt{2^8}·\sqrt{3^2}=\sqrt{{\left(2^4\right)}^2}·3=2^4·3=16·3=48$

е) $$\begin{gathered} \sqrt{3^4·5^6}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2·{\left(5^3\right)}^2}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^3\right)}^2}= \\ =3^2·5^3=9·125=1125 \end{gathered}$$

ж) $\sqrt{7^2·2^8}=\sqrt{7^2}·\sqrt{{\left(2^4\right)}^2}=7·2^4=7·16=112$

з) $$\begin{gathered} \sqrt{3^6·5^4}=\sqrt{3^6}·\sqrt{5^4}=\sqrt{{\left(3^3\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^2\right)}^2}= \\ =3^3·5^2=27·25=675 \end{gathered}$$

и) $\sqrt{8^4·5^6}=\sqrt{{\left(8^2\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^3\right)}^2}=64·125=8000$

а) Для вычисления корня из степени с четным показателем используется свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. В данном случае $a=11$ и $2k=4$, значит $k=2$.
$\sqrt{11^4} = \sqrt{(11^2)^2} = 11^2 = 121$.
Ответ: 121.

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$. Здесь $a=4$ и $2k=6$, значит $k=3$.
$\sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64$.
Ответ: 64.

в) Так как показатель степени $6$ является четным числом, то $(-3)^6 = 3^6$. Таким образом, выражение можно переписать и решить:
$\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27$.
В качестве альтернативы можно использовать свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$:
$\sqrt{(-3)^6} = |(-3)^3| = |-27| = 27$.
Ответ: 27.

г) Поскольку показатель степени $4$ — четное число, то $(-6)^4 = 6^4$.
$\sqrt{(-6)^4} = \sqrt{6^4} = \sqrt{(6^2)^2} = 6^2 = 36$.
Альтернативное решение с использованием свойства $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$:
$\sqrt{(-6)^4} = |(-6)^2| = |36| = 36$.
Ответ: 36.

д) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$) и свойство корня из степени.
$\sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2} = \sqrt{(2^4)^2} \cdot \sqrt{3^2} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48.

е) Применяем свойство корня из произведения и свойство корня из степени.
$\sqrt{3^4 \cdot 5^6} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^6} = \sqrt{(3^2)^2} \cdot \sqrt{(5^3)^2} = 3^2 \cdot 5^3 = 9 \cdot 125 = 1125$.
Ответ: 1125.

ж) Используем те же свойства, что и в предыдущих примерах.
$\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8} = 7 \cdot \sqrt{(2^4)^2} = 7 \cdot 2^4 = 7 \cdot 16 = 112$.
Ответ: 112.

з) Применяем свойство корня из произведения и свойство корня из степени.
$\sqrt{3^6 \cdot 5^4} = \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{5^4} = \sqrt{(3^3)^2} \cdot \sqrt{(5^2)^2} = 3^3 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675$.
Ответ: 675.

и) Сначала упростим подкоренное выражение. Представим основание $8$ как степень числа $2$: $8 = 2^3$.
Тогда $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$.
Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt{2^{12} \cdot 5^6}$.
Далее вычисляем, используя свойства корней:
$\sqrt{2^{12} \cdot 5^6} = \sqrt{2^{12}} \cdot \sqrt{5^6} = \sqrt{(2^6)^2} \cdot \sqrt{(5^3)^2} = 2^6 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125$.
Для удобства вычисления, сгруппируем множители: $2^6 \cdot 5^3 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^3 = 8 \cdot 10^3 = 8000$.
Ответ: 8000.

396. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{а)}}& 20736& 2\\ & 10368& 2\\ & 5184& 2\\ & 2592& 2\\ & 1296& 2\\ & 648& 2\\ & 324& 2\\ & 162& 2\\ & 81& 3\\ & 27& 3\\ & 9& 3\\ & 3& 3\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{20736}=\sqrt{2^8·3^4}=\sqrt{{\left(2^4\right)}^2·{\left(3^2\right)}^2}= \\ =\sqrt{{\left(2^4\right)}^2}·\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}=2^4·3^2=16·9=144 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{б)}}& 50625& 3\\ & 16875& 3\\ & 5625& 3\\ & 1875& 3\\ & 625& 5\\ & 125& 5\\ & 25& 5\\ & 5& 5\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{50625}=\sqrt{3^4·5^4}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^2\right)}^2}=3^2·5^2= \\ =9·25=225 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{в)}}& 28224& 2\\ & 14112& 2\\ & 7056& 2\\ & 3528& 2\\ & 1764& 2\\ & 882& 2\\ & 441& 3\\ & 147& 3\\ & 49& 7\\ & 7& 7\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{28224}=\sqrt{2^6·3^2·7^2}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}·\sqrt{3^2}·\sqrt{7^2}= \\ =2^3·3·7=8·21=168 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{г)}}& 680625& 3\\ & 226875& 5\\ & 45375& 3\\ & 15125& 5\\ & 3025& 5\\ & 605& 5\\ & 121& 11\\ & 11& 11\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{680625}=\sqrt{3^2·5^4·{11}^2}=\sqrt{3^2}·\sqrt{{\left(5^2\right)}^2}·\sqrt{{11}^2}= \\ =3·5^2·11=33·25=825 \end{gathered}$$

а) $\sqrt{20736}$

Чтобы извлечь корень, разложим подкоренное выражение 20 736 на простые множители. Число четное, поэтому начнем делить на 2.

$20736 = 2 \cdot 10368 = 2^2 \cdot 5184 = 2^3 \cdot 2592 = 2^4 \cdot 1296 = 2^5 \cdot 648 = 2^6 \cdot 324 = 2^7 \cdot 162 = 2^8 \cdot 81$

Число 81, в свою очередь, является степенью числа 3: $81 = 3 \cdot 27 = 3^2 \cdot 9 = 3^4$.

Таким образом, разложение на простые множители имеет вид: $20736 = 2^8 \cdot 3^4$.

Теперь извлечем квадратный корень, используя свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt{x^{2n}} = x^n$:

$\sqrt{20736} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4} = 2^{8/2} \cdot 3^{4/2} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: 144

б) $\sqrt{50625}$

Разложим число 50 625 на простые множители. Число заканчивается на 5, поэтому оно делится на 5.

$50625 = 5 \cdot 10125 = 5^2 \cdot 2025 = 5^3 \cdot 405 = 5^4 \cdot 81$

Как мы уже знаем из предыдущего примера, $81 = 3^4$.

Следовательно, разложение числа 50 625 на простые множители: $50625 = 3^4 \cdot 5^4$.

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{50625} = \sqrt{3^4 \cdot 5^4} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4} = 3^{4/2} \cdot 5^{4/2} = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225$.

Ответ: 225

в) $\sqrt{28224}$

Разложим число 28 224 на простые множители. Начнем с деления на 2.

$28224 = 2 \cdot 14112 = 2^2 \cdot 7056 = 2^3 \cdot 3528 = 2^4 \cdot 1764 = 2^5 \cdot 882 = 2^6 \cdot 441$

Теперь разложим число 441. Сумма его цифр $4+4+1=9$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. Также можно заметить, что $441 = 21^2$. Разложим 441 на простые множители:

$441 = 3 \cdot 147 = 3^2 \cdot 49 = 3^2 \cdot 7^2$.

Полное разложение числа 28 224: $28224 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{28224} = \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 2^{6/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 7^{2/2} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Ответ: 168

г) $\sqrt{680625}$

Разложим число 680 625 на простые множители. Число заканчивается на 5, делим на 5.

$680625 = 5 \cdot 136125 = 5^2 \cdot 27225 = 5^3 \cdot 5445 = 5^4 \cdot 1089$

Разложим на множители число 1089. Сумма его цифр $1+0+8+9=18$ делится на 3, значит, число делится на 3.

$1089 = 3 \cdot 363 = 3^2 \cdot 121$.

Число 121 является квадратом числа 11: $121 = 11^2$.

Таким образом, полное разложение числа 680 625: $680625 = 3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2$.

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{680625} = \sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{11^2} = 3^{2/2} \cdot 5^{4/2} \cdot 11^{2/2} = 3^1 \cdot 5^2 \cdot 11^1 = 3 \cdot 25 \cdot 11 = 75 \cdot 11 = 825$.

Ответ: 825