Номер 389, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 389, страница 93.

389. Упростите выражение:

a) $\sqrt{a^2}=\left|a\right|=a,$ если a>0

б) $\sqrt{n^2}=\left|n\right|=-n,$ если n<0

в) $3\sqrt{c^2}=3\left|c\right|=3c,$ если c≥0

г) $-5\sqrt{y^2}=-5\left|y\right|=-5y,$ если y>0

д) $\sqrt{36x^2}=\sqrt{36}·\sqrt{x^2}=6\left|x\right|=-6x,$ если x≤0

е) $-\sqrt{9y^2}=-\sqrt{9}·\sqrt{y^2}=-3\left|y\right|=3y,$ если y<0

ж) $-5\sqrt{4x^2}=-5\sqrt{4}·\sqrt{x^2}=-5·2\left|x\right|=-10x,$ если x≥0

з) $0,5\sqrt{16a^2}=0,5·\sqrt{16}·\sqrt{a^2}=0,5·4·\left|a\right|=-2a,$ если a<0

а) Для упрощения выражения $\sqrt{a^2}$ воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = |a|$. Согласно условию, переменная $a$ является положительным числом ($a > 0$). По определению модуля, если число положительное, его модуль равен самому числу. Следовательно, $|a| = a$.

Ответ: $a$

б) Упростим выражение $\sqrt{n^2}$. Применяя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $\sqrt{n^2} = |n|$. В условии указано, что $n < 0$, то есть $n$ — отрицательное число. По определению модуля, для отрицательного числа $n$ его модуль равен противоположному числу, то есть $|n| = -n$.

Ответ: $-n$

в) Рассмотрим выражение $3\sqrt{c^2}$. Сначала упростим корень: $\sqrt{c^2} = |c|$. Тогда выражение примет вид $3 \cdot |c|$. По условию $c \ge 0$ (c — неотрицательное число). Для любого неотрицательного числа его модуль равен самому числу, поэтому $|c| = c$. В результате получаем $3c$.

Ответ: $3c$

г) Дано выражение $-5\sqrt{y^2}$. Упростим его, используя $\sqrt{y^2} = |y|$. Выражение преобразуется к виду $-5|y|$. По условию $y > 0$, следовательно $|y| = y$. Подставив это в выражение, получаем $-5y$.

Ответ: $-5y$

д) Упростим выражение $\sqrt{36x^2}$. Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$) и тождество $\sqrt{x^2}=|x|$. Получаем: $\sqrt{36x^2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{x^2} = 6|x|$. По условию $x \le 0$, то есть $x$ — неположительное число. Для таких чисел модуль равен противоположному числу: $|x| = -x$. Следовательно, итоговое выражение равно $6(-x) = -6x$.

Ответ: $-6x$

е) Рассмотрим выражение $-\sqrt{9y^2}$. Упростим подкоренное выражение и вынесем константу: $-\sqrt{9y^2} = -\sqrt{9}\sqrt{y^2} = -3|y|$. По условию $y < 0$. Для отрицательного $y$ модуль равен $|y| = -y$. Подставив, получим: $-3(-y) = 3y$.

Ответ: $3y$

ж) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$. Сначала преобразуем корень: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4}\sqrt{x^2} = 2|x|$. Исходное выражение принимает вид $-5 \cdot (2|x|) = -10|x|$. Условие $x \ge 0$ означает, что $x$ — неотрицательное число, поэтому $|x|=x$. В итоге получаем $-10x$.

Ответ: $-10x$

з) Упростим выражение $0,5\sqrt{16a^2}$. Преобразуем корень: $\sqrt{16a^2} = \sqrt{16}\sqrt{a^2} = 4|a|$. Тогда исходное выражение равно $0,5 \cdot (4|a|) = 2|a|$. По условию $a < 0$, значит $a$ — отрицательное число. Для него $|a| = -a$. Подставляя, получаем итоговый результат $2(-a) = -2a$.

Ответ: $-2a$