Номер 391, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 391, страница 93.

391. (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения 9 - 6 x + x при x, равном: а) 2,71; б) 12,62.

1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.

2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните вычисления.

3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

$$\begin{gathered} \sqrt{9-6\sqrt{x}+x}=\sqrt{3^2-2·3\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^2}= \\ =\sqrt{{\left(3-\sqrt{x}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{x}\right| \end{gathered}$$

при x=2,71 $\left|3-\sqrt{2,71}\right|\approx \left|3-1,6\right|=1,4$

при x=12,62 $\left|3-\sqrt{12,62}\right|\approx \left|3-3,6\right|=\left|-0,6\right|=0,6$

1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.

Рассмотрим выражение $\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x}$.

Подкоренное выражение $9 - 6\sqrt{x} + x$ представляет собой трехчлен. Попробуем свернуть его по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим $9$ как $3^2$ и $x$ как $(\sqrt{x})^2$. Тогда выражение можно переписать в виде: $3^2 - 6\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$.

Сравним с формулой: $a^2 = 3^2 \implies a=3$, $b^2 = (\sqrt{x})^2 \implies b=\sqrt{x}$.

Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} = 6\sqrt{x}$.

Таким образом, подкоренное выражение является полным квадратом: $9 - 6\sqrt{x} + x = (3 - \sqrt{x})^2$.

Теперь исходное выражение можно упростить:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x} = \sqrt{(3 - \sqrt{x})^2}$

Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(3 - \sqrt{x})^2} = |3 - \sqrt{x}|$

Ответ: Упрощенное выражение имеет вид $|3 - \sqrt{x}|$.

2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните вычисления.

Для вычислений используем упрощенное выражение $|3 - \sqrt{x}|$.

а) Найдем значение выражения при $x = 2,71$.

Подставляем значение в формулу: $|3 - \sqrt{2,71}|$.

Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо сравнить значения $3$ и $\sqrt{2,71}$. Так как $3^2 = 9$, а $2,71 < 9$, то $3 > \sqrt{2,71}$. Это означает, что разность $3 - \sqrt{2,71}$ положительна.

Следовательно, $|3 - \sqrt{2,71}| = 3 - \sqrt{2,71}$.

Используя калькулятор, находим значение корня: $\sqrt{2,71} \approx 1,6462$.

Вычисляем результат: $3 - 1,6462 = 1,3538$.

б) Найдем значение выражения при $x = 12,62$.

Подставляем значение в формулу: $|3 - \sqrt{12,62}|$.

Сравним значения $3$ и $\sqrt{12,62}$. Так как $3^2 = 9$, а $12,62 > 9$, то $3 < \sqrt{12,62}$. Это означает, что разность $3 - \sqrt{12,62}$ отрицательна.

Следовательно, $|3 - \sqrt{12,62}| = -(3 - \sqrt{12,62}) = \sqrt{12,62} - 3$.

Используя калькулятор, находим значение корня: $\sqrt{12,62} \approx 3,5525$.

Вычисляем результат: $3,5525 - 3 = 0,5525$.

Ответ: а) При $x=2,71$ значение выражения равно $1,3538$. б) При $x=12,62$ значение выражения равно $0,5525$.

3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

Для проверки подставим значения $x$ в исходное (неупрощенное) выражение $\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x}$ и сравним результаты с полученными выше.

Проверка для случая а) $x = 2,71$:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{2,71} + 2,71} = \sqrt{11,71 - 6\sqrt{2,71}}$

С помощью калькулятора: $\sqrt{11,71 - 6 \times 1,646207...} = \sqrt{11,71 - 9,877243...} = \sqrt{1,832757...} \approx 1,3538$.

Результат совпал с вычисленным ранее ($1,3538$).

Проверка для случая б) $x = 12,62$:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{12,62} + 12,62} = \sqrt{21,62 - 6\sqrt{12,62}}$

С помощью калькулятора: $\sqrt{21,62 - 6 \times 3,552463...} = \sqrt{21,62 - 21,314778...} = \sqrt{0,305222...} \approx 0,5525$.

Результат совпал с вычисленным ранее ($0,5525$).

Ответ: Проверка подтверждает, что как упрощение выражения, так и последующие вычисления были выполнены правильно.