Номер 396, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 396, страница 93.

396. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{а)}}& 20736& 2\\ & 10368& 2\\ & 5184& 2\\ & 2592& 2\\ & 1296& 2\\ & 648& 2\\ & 324& 2\\ & 162& 2\\ & 81& 3\\ & 27& 3\\ & 9& 3\\ & 3& 3\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{20736}=\sqrt{2^8·3^4}=\sqrt{{\left(2^4\right)}^2·{\left(3^2\right)}^2}= \\ =\sqrt{{\left(2^4\right)}^2}·\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}=2^4·3^2=16·9=144 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{б)}}& 50625& 3\\ & 16875& 3\\ & 5625& 3\\ & 1875& 3\\ & 625& 5\\ & 125& 5\\ & 25& 5\\ & 5& 5\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{50625}=\sqrt{3^4·5^4}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^2\right)}^2}=3^2·5^2= \\ =9·25=225 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{в)}}& 28224& 2\\ & 14112& 2\\ & 7056& 2\\ & 3528& 2\\ & 1764& 2\\ & 882& 2\\ & 441& 3\\ & 147& 3\\ & 49& 7\\ & 7& 7\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{28224}=\sqrt{2^6·3^2·7^2}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}·\sqrt{3^2}·\sqrt{7^2}= \\ =2^3·3·7=8·21=168 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{г)}}& 680625& 3\\ & 226875& 5\\ & 45375& 3\\ & 15125& 5\\ & 3025& 5\\ & 605& 5\\ & 121& 11\\ & 11& 11\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{680625}=\sqrt{3^2·5^4·{11}^2}=\sqrt{3^2}·\sqrt{{\left(5^2\right)}^2}·\sqrt{{11}^2}= \\ =3·5^2·11=33·25=825 \end{gathered}$$

а) $\sqrt{20736}$

Чтобы извлечь корень, разложим подкоренное выражение 20 736 на простые множители. Число четное, поэтому начнем делить на 2.

$20736 = 2 \cdot 10368 = 2^2 \cdot 5184 = 2^3 \cdot 2592 = 2^4 \cdot 1296 = 2^5 \cdot 648 = 2^6 \cdot 324 = 2^7 \cdot 162 = 2^8 \cdot 81$

Число 81, в свою очередь, является степенью числа 3: $81 = 3 \cdot 27 = 3^2 \cdot 9 = 3^4$.

Таким образом, разложение на простые множители имеет вид: $20736 = 2^8 \cdot 3^4$.

Теперь извлечем квадратный корень, используя свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt{x^{2n}} = x^n$:

$\sqrt{20736} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4} = 2^{8/2} \cdot 3^{4/2} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: 144

б) $\sqrt{50625}$

Разложим число 50 625 на простые множители. Число заканчивается на 5, поэтому оно делится на 5.

$50625 = 5 \cdot 10125 = 5^2 \cdot 2025 = 5^3 \cdot 405 = 5^4 \cdot 81$

Как мы уже знаем из предыдущего примера, $81 = 3^4$.

Следовательно, разложение числа 50 625 на простые множители: $50625 = 3^4 \cdot 5^4$.

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{50625} = \sqrt{3^4 \cdot 5^4} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4} = 3^{4/2} \cdot 5^{4/2} = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225$.

Ответ: 225

в) $\sqrt{28224}$

Разложим число 28 224 на простые множители. Начнем с деления на 2.

$28224 = 2 \cdot 14112 = 2^2 \cdot 7056 = 2^3 \cdot 3528 = 2^4 \cdot 1764 = 2^5 \cdot 882 = 2^6 \cdot 441$

Теперь разложим число 441. Сумма его цифр $4+4+1=9$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. Также можно заметить, что $441 = 21^2$. Разложим 441 на простые множители:

$441 = 3 \cdot 147 = 3^2 \cdot 49 = 3^2 \cdot 7^2$.

Полное разложение числа 28 224: $28224 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{28224} = \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 2^{6/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 7^{2/2} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Ответ: 168

г) $\sqrt{680625}$

Разложим число 680 625 на простые множители. Число заканчивается на 5, делим на 5.

$680625 = 5 \cdot 136125 = 5^2 \cdot 27225 = 5^3 \cdot 5445 = 5^4 \cdot 1089$

Разложим на множители число 1089. Сумма его цифр $1+0+8+9=18$ делится на 3, значит, число делится на 3.

$1089 = 3 \cdot 363 = 3^2 \cdot 121$.

Число 121 является квадратом числа 11: $121 = 11^2$.

Таким образом, полное разложение числа 680 625: $680625 = 3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2$.

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{680625} = \sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{11^2} = 3^{2/2} \cdot 5^{4/2} \cdot 11^{2/2} = 3^1 \cdot 5^2 \cdot 11^1 = 3 \cdot 25 \cdot 11 = 75 \cdot 11 = 825$.

Ответ: 825