Номер 390, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 390, страница 93.

390. Упростите выражение a² - 4a + 4 зная, что:

а) 0 ≤ a ‹ 2;

б) a ≥ 2.

a) $\sqrt{a^2-4a+4}=\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}=\left|a-2\right|=-a+2=2-a,$ т.к., если 0≤a<2, то a-2<0

б) $\sqrt{a^2-4a+4}=\sqrt{{(a-2)}^2}=\left|a-2\right|=a-2,$ так как, если a≥2, то a-2≥0

Для упрощения выражения $\sqrt{a^2 - 4a + 4}$ сначала преобразуем подкоренное выражение. Заметим, что $a^2 - 4a + 4$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, получаем:
$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $\sqrt{(a-2)^2}$.
По свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно, наше выражение равно $|a-2|$.
Теперь рассмотрим каждый из двух случаев для раскрытия модуля.

а) Дано условие $0 \le a < 2$.
При этом условии значение выражения $a-2$ будет отрицательным, так как $a$ меньше 2.
Если $a-2 < 0$, то по определению модуля $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.
Ответ: $2-a$.

б) Дано условие $a \ge 2$.
При этом условии значение выражения $a-2$ будет неотрицательным (то есть больше или равно нулю).
Если $a-2 \ge 0$, то по определению модуля $|a-2| = a-2$.
Ответ: $a-2$.