Номер 383, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 383, страница 90.

383. Представьте в виде квадрата некоторого выражения:

a) $a^4={\left(a^2\right)}^2$

б) $\left(a^6\right)={\left(a^3\right)}^2$

в) $a^{18}={\left(a^9\right)}^2$

г) $\frac{1}{a^{10}}=\frac{1^2}{{\left(a^5\right)}^2}={\left(\frac{1}{a^5}\right)}^2$

д) $a^2{b}^8=a^2{\left(b^4\right)}^2={\left(a{b}^4\right)}^2$

е) $\frac{a^6}{a^{12}}=\frac{{\left(a^3\right)}^2}{{\left(b^6\right)}^2}={\left(\frac{a^3}{b^6}\right)}^2$

а) Чтобы представить выражение $a^4$ в виде квадрата некоторого выражения, необходимо найти такое выражение $X$, для которого выполняется равенство $X^2 = a^4$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Нам нужно найти показатель $m$ такой, что $(a^m)^2 = a^{2m} = a^4$. Отсюда следует, что $2m = 4$, а значит $m=2$. Таким образом, исходное выражение можно представить как квадрат выражения $a^2$.
Ответ: $(a^2)^2$.

б) Чтобы представить выражение $a^6$ в виде квадрата, воспользуемся свойством степени $(x^m)^2 = x^{2m}$. Ищем такое $m$, что $a^{2m} = a^6$. Из равенства показателей $2m = 6$ находим, что $m=3$. Следовательно, $a^6$ является квадратом выражения $a^3$.
Ответ: $(a^3)^2$.

в) Чтобы представить выражение $a^{18}$ в виде квадрата, используем свойство степени $(x^m)^2 = x^{2m}$. Нам нужно найти $m$ из уравнения $2m = 18$. Решая его, получаем $m=9$. Таким образом, $a^{18}$ можно представить как квадрат выражения $a^9$.
Ответ: $(a^9)^2$.

г) Чтобы представить выражение $\frac{1}{a^{10}}$ в виде квадрата, воспользуемся свойствами степеней $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Заметим, что $1 = 1^2$ и $a^{10} = a^{5 \cdot 2} = (a^5)^2$. Таким образом, мы можем переписать исходную дробь: $\frac{1}{a^{10}} = \frac{1^2}{(a^5)^2} = (\frac{1}{a^5})^2$.
Ответ: $(\frac{1}{a^5})^2$.

д) Чтобы представить произведение $a^2b^8$ в виде квадрата, воспользуемся свойствами степеней $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Представим каждый множитель в виде квадрата: $a^2 = (a^1)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$. Тогда произведение можно записать как $(a^1)^2 \cdot (b^4)^2 = (a^1 \cdot b^4)^2 = (ab^4)^2$.
Ответ: $(ab^4)^2$.

е) Чтобы представить дробь $\frac{a^6}{b^{12}}$ в виде квадрата, воспользуемся свойствами степеней $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Представим числитель и знаменатель дроби в виде квадратов: $a^6 = (a^3)^2$ и $b^{12} = (b^6)^2$. Тогда вся дробь равна $\frac{(a^3)^2}{(b^6)^2} = (\frac{a^3}{b^6})^2$.
Ответ: $(\frac{a^3}{b^6})^2$.