Страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

376. Используя свойства квадратного корня и таблицу квадратов на с. 299, найдите значение выражения:

a) $\sqrt{57600}=\sqrt{576·100}=\sqrt{576}·\sqrt{100}=24·10=240$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{230400}=\sqrt{2304·100}=\sqrt{2304}·\sqrt{100}= \\ =48·10=480 \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{152100}=\sqrt{1521·100}=\sqrt{1521}·\sqrt{100}= \\ =39·10=360 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{129600}=\sqrt{1296·100}=\sqrt{1296}·\sqrt{100}= \\ =36·10=360 \end{gathered}$$

д) $\sqrt{20,25}=\sqrt{\frac{2025}{100}}=\frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{100}}=\frac{45}{10}=4,5$

е) $\sqrt{9,61}=\sqrt{\frac{961}{100}}=\frac{\sqrt{961}}{\sqrt{100}}=\frac{31}{10}=3,1$

ж) $\sqrt{0,0484}=\sqrt{\frac{484}{10000}}=\frac{\sqrt{484}}{\sqrt{10000}}=\frac{22}{100}=0,22$

з) $\sqrt{0,3364}=\sqrt{\frac{3364}{10000}}=\frac{\sqrt{3364}}{\sqrt{10000}}=\frac{58}{100}=0,58$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{57600}$, воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Представим число $57600$ как произведение $576$ и $100$.
$\sqrt{57600} = \sqrt{576 \cdot 100} = \sqrt{576} \cdot \sqrt{100}$.
Из таблицы квадратов известно (или можно вычислить), что $24^2 = 576$, следовательно, $\sqrt{576} = 24$. Также известно, что $10^2 = 100$, поэтому $\sqrt{100} = 10$.
Перемножив результаты, получаем: $24 \cdot 10 = 240$.
Ответ: 240

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{230400}$, представим подкоренное выражение как произведение $2304 \cdot 100$.
$\sqrt{230400} = \sqrt{2304 \cdot 100} = \sqrt{2304} \cdot \sqrt{100}$.
Из таблицы квадратов находим, что $48^2 = 2304$, значит $\sqrt{2304} = 48$. Корень из $100$ равен $10$.
Следовательно, $\sqrt{230400} = 48 \cdot 10 = 480$.
Ответ: 480

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{152100}$, представим подкоренное выражение как произведение $1521 \cdot 100$.
$\sqrt{152100} = \sqrt{1521 \cdot 100} = \sqrt{1521} \cdot \sqrt{100}$.
Из таблицы квадратов известно, что $39^2 = 1521$, значит $\sqrt{1521} = 39$. Корень из $100$ равен $10$.
Следовательно, $\sqrt{152100} = 39 \cdot 10 = 390$.
Ответ: 390

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{129600}$, представим подкоренное выражение как произведение $1296 \cdot 100$.
$\sqrt{129600} = \sqrt{1296 \cdot 100} = \sqrt{1296} \cdot \sqrt{100}$.
Из таблицы квадратов известно, что $36^2 = 1296$, значит $\sqrt{1296} = 36$. Корень из $100$ равен $10$.
Следовательно, $\sqrt{129600} = 36 \cdot 10 = 360$.
Ответ: 360

д) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{20,25}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $20,25 = \frac{2025}{100}$. Теперь воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{20,25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{100}}$.
Из таблицы квадратов находим, что $45^2 = 2025$, значит $\sqrt{2025} = 45$. Корень из $100$ равен $10$.
Получаем: $\frac{45}{10} = 4,5$.
Ответ: 4,5

е) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{9,61}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $9,61 = \frac{961}{100}$.
$\sqrt{9,61} = \sqrt{\frac{961}{100}} = \frac{\sqrt{961}}{\sqrt{100}}$.
Из таблицы квадратов находим, что $31^2 = 961$, значит $\sqrt{961} = 31$. Корень из $100$ равен $10$.
Получаем: $\frac{31}{10} = 3,1$.
Ответ: 3,1

ж) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,0484}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,0484 = \frac{484}{10000}$.
$\sqrt{0,0484} = \sqrt{\frac{484}{10000}} = \frac{\sqrt{484}}{\sqrt{10000}}$.
Из таблицы квадратов известно, что $22^2 = 484$, значит $\sqrt{484} = 22$. Корень из $10000$ равен $100$, так как $100^2 = 10000$.
Получаем: $\frac{22}{100} = 0,22$.
Ответ: 0,22

з) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,3364}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,3364 = \frac{3364}{10000}$.
$\sqrt{0,3364} = \sqrt{\frac{3364}{10000}} = \frac{\sqrt{3364}}{\sqrt{10000}}$.
Из таблицы квадратов находим, что $58^2 = 3364$, значит $\sqrt{3364} = 58$. Корень из $10000$ равен $100$.
Получаем: $\frac{58}{100} = 0,58$.
Ответ: 0,58

377. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{44100}=\sqrt{441·100}=\sqrt{441}·\sqrt{100}=21·10=210$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{435600}=\sqrt{4356·100}=\sqrt{4356}·\sqrt{100}= \\ =66·10=660 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{0,0729}=\sqrt{\frac{729}{10000}}=\frac{\sqrt{729}}{\sqrt{10000}}=\frac{27}{100}=0,27$

г) $\sqrt{15,21}=\sqrt{\frac{1521}{100}}=\frac{\sqrt{1521}}{\sqrt{100}}=\frac{39}{10}=3,9$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{44100}$, воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).
Представим подкоренное выражение в виде произведения чисел, из которых легко извлечь корень: $44100 = 441 \cdot 100$.
Тогда $\sqrt{44100} = \sqrt{441 \cdot 100} = \sqrt{441} \cdot \sqrt{100}$.
Поскольку $21^2 = 441$ и $10^2 = 100$, то $\sqrt{441} = 21$ и $\sqrt{100} = 10$.
Следовательно, $\sqrt{44100} = 21 \cdot 10 = 210$.
Ответ: 210

б) Для вычисления $\sqrt{435600}$ также представим число под корнем в виде произведения: $435600 = 4356 \cdot 100$.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{435600} = \sqrt{4356 \cdot 100} = \sqrt{4356} \cdot \sqrt{100}$.
Найдем корень из 4356. Заметим, что $60^2 = 3600$, а $70^2 = 4900$. Значит, корень из 4356 находится между 60 и 70. Поскольку число 4356 оканчивается на 6, его корень должен оканчиваться на 4 или 6. Проверим $66^2 = 4356$.
Таким образом, $\sqrt{4356} = 66$ и $\sqrt{100} = 10$.
Получаем: $\sqrt{435600} = 66 \cdot 10 = 660$.
Ответ: 660

в) Чтобы найти $\sqrt{0,0729}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $0,0729 = \frac{729}{10000}$.
Воспользуемся свойством корня из частного (дроби): $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$).
$\sqrt{0,0729} = \sqrt{\frac{729}{10000}} = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{10000}}$.
Поскольку $27^2 = 729$ и $100^2 = 10000$, то $\sqrt{729} = 27$ и $\sqrt{10000} = 100$.
Следовательно, $\sqrt{0,0729} = \frac{27}{100} = 0,27$.
Ответ: 0,27

г) Для вычисления $\sqrt{15,21}$ представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $15,21 = \frac{1521}{100}$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{15,21} = \sqrt{\frac{1521}{100}} = \frac{\sqrt{1521}}{\sqrt{100}}$.
Найдем корень из 1521. Заметим, что $30^2 = 900$, а $40^2 = 1600$. Значит, корень находится между 30 и 40. Поскольку число 1521 оканчивается на 1, его корень должен оканчиваться на 1 или 9. Проверим $39^2 = (40-1)^2 = 1600 - 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1 = 1521$.
Таким образом, $\sqrt{1521} = 39$ и $\sqrt{100} = 10$.
Получаем: $\sqrt{15,21} = \frac{39}{10} = 3,9$.
Ответ: 3,9

378. Найдите значение произведения:

a) $\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{2·8}=\sqrt{16}=4$

б) $\sqrt{27}·\sqrt{3}=\sqrt{27·3}=\sqrt{81}=9$

в) $\sqrt{28}·\sqrt{7}=\sqrt{28·7}=\sqrt{196}=14$

г) $\sqrt{2}·\sqrt{32}=\sqrt{2·32}=\sqrt{64}=8$

д) $\sqrt{13}·\sqrt{52}=\sqrt{13·52}=\sqrt{676}=26$

е) $\sqrt{63}·\sqrt{7}=\sqrt{63·7}=\sqrt{441}=21$

ж) $\sqrt{50}·\sqrt{4,5}=\sqrt{50·4,5}=\sqrt{225}=15$

з) $\sqrt{1,2}·\sqrt{3\frac{1}{3}}=\sqrt{1,2·3\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{12}{10}·\frac{10}{3}}=\sqrt{4}=2$

а) Воспользуемся свойством произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16}$.
Вычисляем корень из 16.
$\sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

б) Применяем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81}$.
Вычисляем корень из 81.
$\sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9.

в) Объединяем множители под одним корнем:
$\sqrt{28} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{28 \cdot 7}$.
Чтобы упростить вычисление, разложим число 28 на множители: $28 = 4 \cdot 7$.
$\sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7^2}$.
Теперь используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{4 \cdot 7^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7^2} = 2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14.

г) Используем свойство произведения корней:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$.
Вычисляем корень из 64.
$\sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8.

д) Объединяем множители под одним корнем:
$\sqrt{13} \cdot \sqrt{52} = \sqrt{13 \cdot 52}$.
Разложим число 52 на множители: $52 = 4 \cdot 13$.
$\sqrt{13 \cdot (4 \cdot 13)} = \sqrt{4 \cdot 13^2}$.
Извлекаем корень из каждого множителя:
$\sqrt{4 \cdot 13^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13^2} = 2 \cdot 13 = 26$.
Ответ: 26.

е) Объединяем множители под одним корнем:
$\sqrt{63} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{63 \cdot 7}$.
Разложим число 63 на множители: $63 = 9 \cdot 7$.
$\sqrt{(9 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7^2}$.
Извлекаем корень из каждого множителя:
$\sqrt{9 \cdot 7^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7^2} = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: 21.

ж) Объединяем множители под одним корнем:
$\sqrt{50} \cdot \sqrt{4,5} = \sqrt{50 \cdot 4,5}$.
Выполняем умножение под корнем: $50 \cdot 4,5 = 225$.
$\sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15.

з) Для удобства вычислений представим подкоренные выражения в виде обыкновенных дробей.
Десятичная дробь $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Смешанное число $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Теперь перемножим корни:
$\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{6}{5}} \cdot \sqrt{\frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{6}{5} \cdot \frac{10}{3}}$.
Умножаем дроби под корнем:
$\sqrt{\frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{60}{15}} = \sqrt{4}$.
Вычисляем корень из 4.
$\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

379. Найдите значение частного:

a) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$

б) $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}}=\sqrt{\frac{23}{2300}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}=0,1$

в) $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}=\sqrt{\frac{52}{117}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$

г) $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{12500}{500}}=\sqrt{25}=5$

д) $\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}}=\sqrt{\frac{7,5}{0,3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$

а) Для того чтобы найти значение частного $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$, воспользуемся свойством частного квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Применяя это свойство, мы можем записать выражение как $\sqrt{\frac{2}{18}}$. Сократив дробь под корнем, получаем $\frac{2}{18} = \frac{1}{9}$. Теперь нужно вычислить $\sqrt{\frac{1}{9}}$, что равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Аналогично предыдущему примеру, для выражения $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}}$ применяем свойство частного корней: $\sqrt{\frac{23}{2300}}$. Упрощаем подкоренное выражение, сокращая дробь на 23: $\frac{23}{2300} = \frac{1}{100}$. Таким образом, нам нужно найти значение $\sqrt{\frac{1}{100}}$, которое равно $\frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

в) Для частного $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$ используем то же свойство и получаем $\sqrt{\frac{52}{117}}$. Чтобы упростить дробь, найдем общий делитель для 52 и 117. Разложим числа на множители: $52 = 4 \times 13$ и $117 = 9 \times 13$. Теперь дробь можно сократить: $\frac{52}{117} = \frac{4 \times 13}{9 \times 13} = \frac{4}{9}$. Выражение принимает вид $\sqrt{\frac{4}{9}}$, и его значение равно $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) Для выражения $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}$ применяем свойство частного корней и записываем его как $\sqrt{\frac{12500}{500}}$. Выполняем деление под знаком корня: $\frac{12500}{500} = \frac{125}{5} = 25$. Нам остается вычислить $\sqrt{25}$, что равно 5.

Ответ: $5$.

д) Для нахождения значения частного $\frac{\sqrt{7.5}}{\sqrt{0.3}}$ запишем его в виде $\sqrt{\frac{7.5}{0.3}}$. Чтобы упростить деление десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на 10: $\frac{7.5 \times 10}{0.3 \times 10} = \frac{75}{3} = 25$. Таким образом, мы ищем значение $\sqrt{25}$, которое равно 5.

Ответ: $5$.

380. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{10}·\sqrt{40}=\sqrt{10·40}=\sqrt{400}=20$

б) $\sqrt{12}·\sqrt{3}=\sqrt{12·3}=\sqrt{36}=6$

в) $\sqrt{162}·\sqrt{2}=\sqrt{162·2}=\sqrt{324}=18$

г) $\sqrt{\frac{2}{3}}·\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{2}{3}·\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

д) $\sqrt{110}·\sqrt{4,4}=\sqrt{110·4,4}=\sqrt{484}=22$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\sqrt{1\frac{4}{5}}·\sqrt{0,2}=\sqrt{1\frac{4}{5}·0,2}=\sqrt{\frac{9}{5}·\frac{2}{10}}= \\ =\sqrt{\frac{18}{50}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5} \end{gathered}$$

ж) $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}}=\sqrt{\frac{999}{111}}=\sqrt{9}=3$

з) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\frac{15}{735}}=\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}$

а) Для нахождения значения выражения $\sqrt{10} \cdot \sqrt{40}$ воспользуемся свойством, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{40} = \sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400}$.
Квадратный корень из 400 равен 20.
$\sqrt{400} = 20$.
Ответ: 20

б) Используем то же свойство корня из произведения для выражения $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$.
$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36}$.
Квадратный корень из 36 равен 6.
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

в) Вычислим произведение $\sqrt{162} \cdot \sqrt{2}$, применив свойство произведения корней.
$\sqrt{162} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{162 \cdot 2} = \sqrt{324}$.
Квадратный корень из 324 равен 18, так как $18^2 = 324$.
$\sqrt{324} = 18$.
Ответ: 18

г) Для выражения $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}}$ применим свойство произведения корней.
$\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{6}{24}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
Получаем $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Найдем значение выражения $\sqrt{110} \cdot \sqrt{4,4}$.
$\sqrt{110} \cdot \sqrt{4,4} = \sqrt{110 \cdot 4,4} = \sqrt{11 \cdot 10 \cdot 4,4} = \sqrt{11 \cdot 44}$.
$\sqrt{11 \cdot 44} = \sqrt{484}$.
Квадратный корень из 484 равен 22, так как $22^2 = 484$.
$\sqrt{484} = 22$.
Ответ: 22

е) Для выражения $\sqrt{1\frac{4}{5}} \cdot \sqrt{0,2}$ сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби.
$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь перемножим корни: $\sqrt{\frac{9}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{9}{25}}$.
Извлечем корень: $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

ж) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}}$ воспользуемся свойством, что частное корней равно корню из частного: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\frac{999}{111}}$.
Разделим 999 на 111: $\frac{999}{111} = 9$.
Получаем $\sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

з) Вычислим значение выражения $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}$, используя свойство корня из частного.
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}} = \sqrt{\frac{15}{735}}$.
Сократим дробь $\frac{15}{735}$. Для этого разделим числитель и знаменатель на 15. $735 \div 15 = 49$.
$\frac{15}{735} = \frac{1}{49}$.
Получаем $\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$

381. Значение выражения 2 ∙ 3 с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения 2 и 3 и результаты перемножить или заменить произведение 2 ∙ 3 выражением 6 и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления.

$$\begin{gathered} \sqrt{2}·\sqrt{3}\approx 1,4·1,7=2,38 \\ \sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2·3}=\sqrt{6}\approx 2,4 \end{gathered}$$

Ответ: удобнее пользоваться вторым способом

В задаче предложено два способа для вычисления значения выражения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Выполним вычисления обоими способами и сравним их.

Способ 1: найти значения $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ и результаты перемножить

Вычислим на калькуляторе приближенные значения для каждого множителя. Для большей точности возьмем несколько знаков после запятой:
$\sqrt{2} \approx 1,41421$
$\sqrt{3} \approx 1,73205$
Теперь перемножим полученные приближенные значения:
$1,41421 \cdot 1,73205 \approx 2,4494882105$
Этот способ требует выполнения трех действий: извлечение первого корня, извлечение второго корня и их последующее умножение. Точность конечного результата зависит от того, сколько знаков после запятой было взято в промежуточных вычислениях.

Ответ: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \approx 2,44949$

Способ 2: заменить произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$ выражением $\sqrt{6}$ и затем найти его значение

Используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$
Теперь с помощью калькулятора найдем значение $\sqrt{6}$:
$\sqrt{6} \approx 2,44948974...$
Этот способ требует только одного действия на калькуляторе — извлечения корня из числа 6.

Ответ: $\sqrt{6} \approx 2,44949$

Каким из этих способов удобнее пользоваться?

Вторым способом пользоваться удобнее. Это связано с двумя причинами:
1. Простота и скорость. Второй способ требует меньше действий. Вместо трех последовательных операций (найти $\sqrt{2}$, найти $\sqrt{3}$, перемножить) нужно выполнить только одну (найти $\sqrt{6}$). Это быстрее и снижает вероятность ошибки при вводе чисел.
2. Точность. При использовании первого способа мы вынуждены округлять промежуточные результаты ($\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$), что вносит погрешность в итоговый ответ. Второй способ позволяет избежать промежуточных округлений и сразу вычислить значение с максимальной точностью, которую позволяет калькулятор.

Ответ: Удобнее пользоваться вторым способом, так как он требует меньше вычислений и дает более точный результат.

382. Найдите значение выражения x², если x = –4; –3; 0; 9; 20. При каких значениях х выражение x² имеет смысл?

если x=-4, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{16}=4$

если x=-3, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{9}=3$

если x=0, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{0^2}=0$

если x=9, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{9^2}=\sqrt{81}=9$

если x=20, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{{20}^2}=\sqrt{400}=20$

Выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл при любых значениях x

Найдите значение выражения $\sqrt{x^2}$, если $x = -4; -3; 0; 9; 20$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. То есть, квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Модуль числа — это его абсолютное значение, которое всегда неотрицательно.

Подставим заданные значения $x$ в выражение $\sqrt{x^2}$ и вычислим результат:

• Если $x = -4$, то $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$. По свойству: $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.

• Если $x = -3$, то $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$. По свойству: $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.

• Если $x = 0$, то $\sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0$. По свойству: $\sqrt{0^2} = |0| = 0$.

• Если $x = 9$, то $\sqrt{9^2} = \sqrt{81} = 9$. По свойству: $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.

• Если $x = 20$, то $\sqrt{20^2} = \sqrt{400} = 20$. По свойству: $\sqrt{20^2} = |20| = 20$.

Ответ: при $x = -4$ значение равно 4; при $x = -3$ значение равно 3; при $x = 0$ значение равно 0; при $x = 9$ значение равно 9; при $x = 20$ значение равно 20.

При каких значениях x выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл?

Выражение "арифметический квадратный корень", которое обозначается как $\sqrt{a}$, определено (имеет смысл) только в том случае, когда подкоренное выражение $a$ неотрицательно, то есть $a \ge 0$.

В нашем случае подкоренным выражением является $x^2$. Следовательно, выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл для всех тех значений $x$, при которых выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что неравенство $x^2 \ge 0$ верно для любого действительного числа $x$.

Таким образом, область определения выражения $\sqrt{x^2}$ — это все действительные числа.

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях $x$.

383. Представьте в виде квадрата некоторого выражения:

a) $a^4={\left(a^2\right)}^2$

б) $\left(a^6\right)={\left(a^3\right)}^2$

в) $a^{18}={\left(a^9\right)}^2$

г) $\frac{1}{a^{10}}=\frac{1^2}{{\left(a^5\right)}^2}={\left(\frac{1}{a^5}\right)}^2$

д) $a^2{b}^8=a^2{\left(b^4\right)}^2={\left(a{b}^4\right)}^2$

е) $\frac{a^6}{a^{12}}=\frac{{\left(a^3\right)}^2}{{\left(b^6\right)}^2}={\left(\frac{a^3}{b^6}\right)}^2$

а) Чтобы представить выражение $a^4$ в виде квадрата некоторого выражения, необходимо найти такое выражение $X$, для которого выполняется равенство $X^2 = a^4$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Нам нужно найти показатель $m$ такой, что $(a^m)^2 = a^{2m} = a^4$. Отсюда следует, что $2m = 4$, а значит $m=2$. Таким образом, исходное выражение можно представить как квадрат выражения $a^2$.
Ответ: $(a^2)^2$.

б) Чтобы представить выражение $a^6$ в виде квадрата, воспользуемся свойством степени $(x^m)^2 = x^{2m}$. Ищем такое $m$, что $a^{2m} = a^6$. Из равенства показателей $2m = 6$ находим, что $m=3$. Следовательно, $a^6$ является квадратом выражения $a^3$.
Ответ: $(a^3)^2$.

в) Чтобы представить выражение $a^{18}$ в виде квадрата, используем свойство степени $(x^m)^2 = x^{2m}$. Нам нужно найти $m$ из уравнения $2m = 18$. Решая его, получаем $m=9$. Таким образом, $a^{18}$ можно представить как квадрат выражения $a^9$.
Ответ: $(a^9)^2$.

г) Чтобы представить выражение $\frac{1}{a^{10}}$ в виде квадрата, воспользуемся свойствами степеней $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Заметим, что $1 = 1^2$ и $a^{10} = a^{5 \cdot 2} = (a^5)^2$. Таким образом, мы можем переписать исходную дробь: $\frac{1}{a^{10}} = \frac{1^2}{(a^5)^2} = (\frac{1}{a^5})^2$.
Ответ: $(\frac{1}{a^5})^2$.

д) Чтобы представить произведение $a^2b^8$ в виде квадрата, воспользуемся свойствами степеней $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Представим каждый множитель в виде квадрата: $a^2 = (a^1)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$. Тогда произведение можно записать как $(a^1)^2 \cdot (b^4)^2 = (a^1 \cdot b^4)^2 = (ab^4)^2$.
Ответ: $(ab^4)^2$.

е) Чтобы представить дробь $\frac{a^6}{b^{12}}$ в виде квадрата, воспользуемся свойствами степеней $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Представим числитель и знаменатель дроби в виде квадратов: $a^6 = (a^3)^2$ и $b^{12} = (b^6)^2$. Тогда вся дробь равна $\frac{(a^3)^2}{(b^6)^2} = (\frac{a^3}{b^6})^2$.
Ответ: $(\frac{a^3}{b^6})^2$.

384. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а см, высота параллелепипеда равна b см, а его объём равен V см³. Выразите переменную а через b и V.

$$\begin{gathered} V=a^{2}b \\ {a}^2=\frac{V}{b} \\ a=\sqrt{\frac{V}{b}} \end{gathered}$$

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$). Формула объёма выглядит так:

$V = S_{осн} \cdot h$

По условию задачи, основанием параллелепипеда является квадрат со стороной $a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = \text{сторона}^2$. Следовательно, площадь основания нашего параллелепипеда равна:

$S_{осн} = a^2$

Высота параллелепипеда по условию равна $b$, то есть $h = b$.

Подставим выражения для площади основания и высоты в общую формулу объёма:

$V = a^2 \cdot b$

Наша цель — выразить переменную $a$ через $V$ и $b$. Для этого преобразуем полученное уравнение. Сначала выразим $a^2$, разделив обе части уравнения на $b$:

$\frac{V}{b} = a^2$

или

$a^2 = \frac{V}{b}$

Теперь, чтобы найти $a$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $a$ представляет собой длину стороны, она не может быть отрицательной, поэтому мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень:

$a = \sqrt{\frac{V}{b}}$

Ответ: $a = \sqrt{\frac{V}{b}}$