Страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

345. Площадь круга может быть вычислена по формуле S = πr², где r — радиус круга, или по формуле S =πd²4, где d — диаметр круга. Задайте формулой зависимость:

а) r от S;

б) d от S.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }S={\mathrm{\pi r}}^2 \\ {\mathrm{r}}^2=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{\pi }} \\ \mathrm{r}=\sqrt{\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{\pi }}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}S=\frac{{\mathrm{\pi d}}^2}{4}; {\mathrm{\pi d}}^2=4\mathrm{s} \\ {\mathrm{d}}^2=\frac{4\mathrm{s}}{\mathrm{\pi }}; \mathrm{d}=\sqrt{\frac{4\mathrm{s}}{\mathrm{\pi }}}=2\sqrt{\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{\pi }}} \end{gathered}$$

а) r от S

Чтобы выразить зависимость радиуса $r$ от площади круга $S$, мы используем исходную формулу площади через радиус: $S = \pi r^2$. Наша задача — выразить из этого равенства переменную $r$.

1. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы выделить $r^2$:

$r^2 = \frac{S}{\pi}$

2. Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус — это геометрическая величина (длина), он может быть только положительным числом. Поэтому мы берем только арифметический (положительный) квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Таким образом, мы получили формулу, выражающую зависимость радиуса $r$ от площади $S$.

Ответ: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

б) d от S

Чтобы выразить зависимость диаметра $d$ от площади круга $S$, мы используем вторую формулу: $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Наша задача — выразить из этого равенства переменную $d$.

1. Сначала избавимся от знаменателя 4, умножив обе части уравнения на 4:

$4S = \pi d^2$

2. Теперь разделим обе части на $\pi$, чтобы выделить $d^2$:

$d^2 = \frac{4S}{\pi}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Диаметр, как и радиус, является положительной величиной, поэтому берем только арифметический корень:

$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$

Эту формулу можно немного упростить, извлекая корень из числителя: $\sqrt{4S} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{S} = 2\sqrt{S}$. Тогда формула примет вид:

$d = \frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{\pi}} = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Оба варианта записи верны.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$ или $d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$

346. Задайте формулой зависимость:

а) площади поверхности куба S от длины его ребра а;

б) длины ребра куба а от площади его поверхности S.

$\mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }S=6{\mathrm{a}}^2$

$\mathbf{\text{б) }}{\mathrm{a}}^2=\frac{\mathrm{s}}{6}; \mathrm{a}=\sqrt{\frac{\mathrm{s}}{6}}$

а) Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Пусть длина ребра куба равна $a$. Площадь одного такого квадрата (грани) вычисляется по формуле $a \cdot a = a^2$. Поскольку у куба 6 таких граней, то общая площадь его поверхности $S$ равна сумме площадей всех шести граней. Таким образом, зависимость площади поверхности куба $S$ от длины его ребра $a$ задается формулой:

$S = 6a^2$

Ответ: $S = 6a^2$

б) Чтобы выразить зависимость длины ребра куба $a$ от площади его поверхности $S$, необходимо использовать формулу, полученную в пункте а): $S = 6a^2$. Решим это уравнение относительно переменной $a$.

Сначала разделим обе части уравнения на 6:

$a^2 = \frac{S}{6}$

Далее, чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина ребра $a$ может быть только положительным числом, мы берем арифметический (положительный) корень:

$a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Эта формула и задает искомую зависимость.

Ответ: $a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

347. Площадь поверхности шара радиуса R вычисляется по формуле S = 4πR². Задайте формулой зависимость R от S.

$$\begin{gathered} S=4{\mathrm{\pi R}}^2; \\ {\mathrm{R}}^2=\frac{\mathrm{S}}{4\mathrm{\pi }}; \\ \mathrm{R}=\sqrt{\frac{\mathrm{S}}{4\mathrm{\pi }}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{\pi }}} \end{gathered}$$

Дана формула для вычисления площади поверхности шара $S$ с радиусом $R$:

$S = 4\pi R^2$

Чтобы задать формулой зависимость $R$ от $S$, необходимо выразить $R$ из данной формулы. Для этого выполним следующие алгебраические преобразования.

1. Поменяем местами левую и правую части уравнения для удобства:

$4\pi R^2 = S$

2. Разделим обе части уравнения на $4\pi$, чтобы изолировать $R^2$:

$R^2 = \frac{S}{4\pi}$

3. Чтобы найти $R$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как радиус $R$ является длиной и не может быть отрицательным, мы берем только положительное значение корня (арифметический квадратный корень):

$\sqrt{R^2} = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$

$R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$

Полученная формула выражает зависимость радиуса $R$ от площади поверхности шара $S$.

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$

348. Пользуясь графиком функции y = x, найдите:

а) значение x при x = 2,5; 5,5; 8,4;

б) значение х, которому соответствует x = 1,2; 1,7; 2,5.

$y=\sqrt{x}$

a) при x=2,5; $\sqrt{x}=\sqrt{2,5}\approx 1,55$

при x=5,5; $\sqrt{x}=\sqrt{5,5}\approx 2,35$

при x=8,4; $\sqrt{x}=\sqrt{8,4}\approx 2,9$

б) если $\sqrt{\mathit{x}}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{,}$ то x≈1,4

если $\sqrt{\mathit{x}}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{,}$ то x≈2,9

если $\sqrt{\mathit{x}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ то x≈6,2

а) значение $\sqrt{x}$ при $x = 2,5; 5,5; 8,4$;

Чтобы найти значение $\sqrt{x}$ по графику функции $y = \sqrt{x}$, необходимо найти на оси абсцисс ($Ox$) заданное значение $x$, затем от этой точки провести вертикальную линию до пересечения с графиком функции. От точки пересечения следует провести горизонтальную линию к оси ординат ($Oy$). Координата точки на оси $Oy$ и будет искомым значением $\sqrt{x}$.

- При $x = 2,5$, находим на оси $Ox$ точку 2,5. По графику соответствующее значение на оси $Oy$ приблизительно равно $1,6$. Следовательно, $\sqrt{2,5} \approx 1,6$.
- При $x = 5,5$, аналогично находим, что $\sqrt{5,5} \approx 2,3$.
- При $x = 8,4$, находим, что $\sqrt{8,4} \approx 2,9$.

Ответ: $\sqrt{2,5} \approx 1,6$; $\sqrt{5,5} \approx 2,3$; $\sqrt{8,4} \approx 2,9$.

б) значение $x$, которому соответствует $\sqrt{x} = 1,2; 1,7; 2,5$.

Чтобы найти значение $x$ по известному значению $\sqrt{x}$ (то есть $y$), нужно выполнить обратную операцию. Находим на оси ординат ($Oy$) заданное значение, проводим от него горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. Затем от точки пересечения проводим вертикальную линию к оси абсцисс ($Ox$). Координата точки на оси $Ox$ будет искомым значением $x$. Для проверки можно использовать тот факт, что если $y = \sqrt{x}$, то $x = y^2$.

- Если $\sqrt{x} = 1,2$, то находим на оси $Oy$ точку 1,2. По графику соответствующее значение на оси $Ox$ приблизительно равно $1,4$. Проверка: $x = (1,2)^2 = 1,44$.
- Если $\sqrt{x} = 1,7$, то по графику $x \approx 2,9$. Проверка: $x = (1,7)^2 = 2,89$.
- Если $\sqrt{x} = 2,5$, то по графику $x \approx 6,3$. Проверка: $x = (2,5)^2 = 6,25$.

Ответ: при $\sqrt{x} = 1,2$, $x \approx 1,4$; при $\sqrt{x} = 1,7$, $x \approx 2,9$; при $\sqrt{x} = 2,5$, $x \approx 6,3$.