Страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

342. Вычислите:

a) $$\begin{gathered} 3\sqrt{0,16}-0,1\sqrt{225}=3·0,4-0,1·15= \\ =1,2-1,5=-0,3 \end{gathered}$$

б) $0,2\sqrt{900}+1,8\sqrt{\frac{1}{9}}=0,2·30+1,8·\frac{1}{3}=6+0,6=6,6$

в) $0,3\sqrt{1,21}·\sqrt{400}=0,3·1,1·20=6,6$

г) $5:\sqrt{0,25}·\sqrt{0,81}=5:0,5·0,9=\frac{50}{5}·0,9=9$

а) $3\sqrt{0,16} - 0,1\sqrt{225}$
Для решения данного выражения сначала извлечем квадратные корни.
Квадратный корень из 0,16 равен 0,4, так как $0,4^2 = 0,16$.
$\sqrt{0,16} = 0,4$
Квадратный корень из 225 равен 15, так как $15^2 = 225$.
$\sqrt{225} = 15$
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$3 \cdot 0,4 - 0,1 \cdot 15$
Выполним умножение:
$3 \cdot 0,4 = 1,2$
$0,1 \cdot 15 = 1,5$
Выполним вычитание:
$1,2 - 1,5 = -0,3$
Ответ: -0,3

б) $0,2\sqrt{900} + 1,8\sqrt{\frac{1}{9}}$
Сначала вычислим значения квадратных корней.
Квадратный корень из 900 равен 30, так как $30^2 = 900$.
$\sqrt{900} = 30$
Квадратный корень из $\frac{1}{9}$ равен $\frac{1}{3}$, так как $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
Подставим значения в выражение:
$0,2 \cdot 30 + 1,8 \cdot \frac{1}{3}$
Выполним операции умножения:
$0,2 \cdot 30 = 6$
$1,8 \cdot \frac{1}{3} = 1,8 / 3 = 0,6$
Теперь выполним сложение:
$6 + 0,6 = 6,6$
Ответ: 6,6

в) $0,3\sqrt{1,21} \cdot \sqrt{400}$
Найдем значения квадратных корней.
Квадратный корень из 1,21 равен 1,1, так как $1,1^2 = 1,21$.
$\sqrt{1,21} = 1,1$
Квадратный корень из 400 равен 20, так как $20^2 = 400$.
$\sqrt{400} = 20$
Подставим эти значения в выражение:
$0,3 \cdot 1,1 \cdot 20$
Выполним умножение по порядку:
$0,3 \cdot 1,1 = 0,33$
$0,33 \cdot 20 = 6,6$
Ответ: 6,6

г) $5 : \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{0,81}$
Сначала извлечем квадратные корни.
Квадратный корень из 0,25 равен 0,5, так как $0,5^2 = 0,25$.
$\sqrt{0,25} = 0,5$
Квадратный корень из 0,81 равен 0,9, так как $0,9^2 = 0,81$.
$\sqrt{0,81} = 0,9$
Подставим значения в выражение:
$5 : 0,5 \cdot 0,9$
Выполним действия деления и умножения слева направо.
Сначала деление: $5 : 0,5 = 10$.
Затем умножение: $10 \cdot 0,9 = 9$.
Ответ: 9

343. Найдите значение выражения x + |x|, если x = 7; 10; 0; –3; –8. Упростите выражение x + |x|, если: а) x ≥ 0; б) x ‹ 0.

если x=7, то x+|x|=7+|7|=7+7=14

если x=10, то x+|x|=10+|10|=10+10=20

если x=0, то x+|x|=0+|0|=0

если x=-3, то x+|x|=-3+|-3|=-3+3=0

если x=-8, то x+|x|=-8+|-8|=-8+8=0

а) если x≥0, то x+|x|=x+x=2x

б) если x<0, то x+|x|=x-x=0

Найдем значение выражения $x + |x|$ для каждого из заданных значений $x$.

При $x = 7$:
Подставляем значение в выражение: $7 + |7|$.
Так как $7 \ge 0$, по определению модуля $|7| = 7$.
Получаем: $7 + 7 = 14$.
Ответ: 14.

При $x = 10$:
Подставляем значение в выражение: $10 + |10|$.
Так как $10 \ge 0$, по определению модуля $|10| = 10$.
Получаем: $10 + 10 = 20$.
Ответ: 20.

При $x = 0$:
Подставляем значение в выражение: $0 + |0|$.
Так как $0 \ge 0$, по определению модуля $|0| = 0$.
Получаем: $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0.

При $x = -3$:
Подставляем значение в выражение: $-3 + |-3|$.
Так как $-3 < 0$, по определению модуля $|-3| = -(-3) = 3$.
Получаем: $-3 + 3 = 0$.
Ответ: 0.

При $x = -8$:
Подставляем значение в выражение: $-8 + |-8|$.
Так как $-8 < 0$, по определению модуля $|-8| = -(-8) = 8$.
Получаем: $-8 + 8 = 0$.
Ответ: 0.

Теперь упростим выражение $x + |x|$ для заданных условий.

а) если $x \ge 0$:
По определению модуля, для любого неотрицательного числа $x$ справедливо равенство $|x| = x$.
Подставляем это в исходное выражение:
$x + |x| = x + x = 2x$.
Ответ: $2x$.

б) если $x < 0$:
По определению модуля, для любого отрицательного числа $x$ справедливо равенство $|x| = -x$.
Подставляем это в исходное выражение:
$x + |x| = x + (-x) = x - x = 0$.
Ответ: 0.

344. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{4a^2-20a+25}{25-4a^2}=\frac{{(2a-5)}^2}{(5-2a)(5+2a)}= \\ =\frac{{(5-2a)}^2}{(5-2a)(5+2a)}=\frac{5-2a}{5+2a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{9x^2+4y^2-12xy}{4y^2-9x^2}=\frac{{(3x-2y)}^2}{(2y-3x)(2y+3x)}= \\ =\frac{{(2y-3x)}^2}{(2y-3x)(2y+3x)}=\frac{2y-3x}{2y+3x} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2 - 20a + 25}{25 - 4a^2}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

Числитель $4a^2 - 20a + 25$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=2a$ и $y=5$. Проверим средний член: $2 \cdot 2a \cdot 5 = 20a$. Значит, выражение в числителе можно записать как:

$4a^2 - 20a + 25 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = (2a - 5)^2$.

Знаменатель $25 - 4a^2$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В данном случае $x=5$ и $y=2a$. Тогда:

$25 - 4a^2 = 5^2 - (2a)^2 = (5 - 2a)(5 + 2a)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(2a - 5)^2}{(5 - 2a)(5 + 2a)}$

Заметим, что выражения $(2a - 5)$ и $(5 - 2a)$ являются противоположными, то есть $(2a - 5) = -(5 - 2a)$. Однако, так как в числителе выражение в квадрате, то $(2a - 5)^2 = (-(5 - 2a))^2 = (5 - 2a)^2$. Перепишем дробь в новом виде:

$\frac{(5 - 2a)^2}{(5 - 2a)(5 + 2a)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(5 - 2a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5 - 2a}{5 + 2a}$

Ответ: $\frac{5 - 2a}{5 + 2a}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2 + 4y^2 - 12xy}{4y^2 - 9x^2}$, сначала преобразуем числитель для удобства, поменяв слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $9x^2 - 12xy + 4y^2$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $9x^2 - 12xy + 4y^2$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=3x$ и $b=2y$. Проверим средний член: $2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy$. Значит, выражение в числителе можно записать как:

$9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x - 2y)^2$.

Знаменатель $4y^2 - 9x^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a=2y$ и $b=3x$. Тогда:

$4y^2 - 9x^2 = (2y)^2 - (3x)^2 = (2y - 3x)(2y + 3x)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(3x - 2y)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)}$

Как и в предыдущем примере, выражения $(3x - 2y)$ и $(2y - 3x)$ являются противоположными. Так как числитель возведен в квадрат, мы можем записать $(3x - 2y)^2 = (-(2y - 3x))^2 = (2y - 3x)^2$.

Перепишем дробь:

$\frac{(2y - 3x)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)}$

Сократим общий множитель $(2y - 3x)$:

$\frac{2y - 3x}{2y + 3x}$

Ответ: $\frac{2y - 3x}{2y + 3x}$.