Номер 344, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Нахождение приближённых значений квадратного корня. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 344, страница 81.

344. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{4a^2-20a+25}{25-4a^2}=\frac{{(2a-5)}^2}{(5-2a)(5+2a)}= \\ =\frac{{(5-2a)}^2}{(5-2a)(5+2a)}=\frac{5-2a}{5+2a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{9x^2+4y^2-12xy}{4y^2-9x^2}=\frac{{(3x-2y)}^2}{(2y-3x)(2y+3x)}= \\ =\frac{{(2y-3x)}^2}{(2y-3x)(2y+3x)}=\frac{2y-3x}{2y+3x} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2 - 20a + 25}{25 - 4a^2}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

Числитель $4a^2 - 20a + 25$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=2a$ и $y=5$. Проверим средний член: $2 \cdot 2a \cdot 5 = 20a$. Значит, выражение в числителе можно записать как:

$4a^2 - 20a + 25 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = (2a - 5)^2$.

Знаменатель $25 - 4a^2$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В данном случае $x=5$ и $y=2a$. Тогда:

$25 - 4a^2 = 5^2 - (2a)^2 = (5 - 2a)(5 + 2a)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(2a - 5)^2}{(5 - 2a)(5 + 2a)}$

Заметим, что выражения $(2a - 5)$ и $(5 - 2a)$ являются противоположными, то есть $(2a - 5) = -(5 - 2a)$. Однако, так как в числителе выражение в квадрате, то $(2a - 5)^2 = (-(5 - 2a))^2 = (5 - 2a)^2$. Перепишем дробь в новом виде:

$\frac{(5 - 2a)^2}{(5 - 2a)(5 + 2a)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(5 - 2a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5 - 2a}{5 + 2a}$

Ответ: $\frac{5 - 2a}{5 + 2a}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2 + 4y^2 - 12xy}{4y^2 - 9x^2}$, сначала преобразуем числитель для удобства, поменяв слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $9x^2 - 12xy + 4y^2$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $9x^2 - 12xy + 4y^2$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=3x$ и $b=2y$. Проверим средний член: $2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy$. Значит, выражение в числителе можно записать как:

$9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x - 2y)^2$.

Знаменатель $4y^2 - 9x^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a=2y$ и $b=3x$. Тогда:

$4y^2 - 9x^2 = (2y)^2 - (3x)^2 = (2y - 3x)(2y + 3x)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(3x - 2y)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)}$

Как и в предыдущем примере, выражения $(3x - 2y)$ и $(2y - 3x)$ являются противоположными. Так как числитель возведен в квадрат, мы можем записать $(3x - 2y)^2 = (-(2y - 3x))^2 = (2y - 3x)^2$.

Перепишем дробь:

$\frac{(2y - 3x)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)}$

Сократим общий множитель $(2y - 3x)$:

$\frac{2y - 3x}{2y + 3x}$

Ответ: $\frac{2y - 3x}{2y + 3x}$.