Номер 341, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Нахождение приближённых значений квадратного корня. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 341, страница 80.

341. Решите данные уравнения и укажите те из них, у которых оба корня не превосходят числа 2:

а) x² = 30;

б) 7x² = 10;

в) 0,2x² = 3.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }{x}^2=30 \\ {x}_1=\sqrt{30}, 5<\sqrt{30}<6 \\ {x}_2=-\sqrt{30} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{30}$ и $\sqrt{30}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }7x^2=10 \\ {x}^2=\frac{10}{7} \\ {x}_1=\sqrt{\frac{10}{7}}=\sqrt{1\frac{3}{7}}, 1<\sqrt{1\frac{3}{7}}<2 \\ {x}_2=-\sqrt{\frac{10}{7}}=-\sqrt{1\frac{3}{7}}, -2<-\sqrt{1\frac{3}{7}}<-1 \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{1\frac{3}{7}}$ и $\sqrt{1\frac{3}{7}}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }0,2x^2=3 \\ {x}^2=\frac{3}{0,2} \\ {x}^2=15 \\ {x}_1=\sqrt{15}, 3<\sqrt{15}<4 \\ {x}_2=-\sqrt{15} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{15}$ и $\sqrt{15}$

Оба корня не превосходят число 2 у уравнения б)

Для решения задачи необходимо найти корни каждого уравнения, а затем проверить, удовлетворяют ли его корни заданному условию "не превосходят числа 2", то есть $x \le 2$.

а) $x^2 = 30$

Корнями данного уравнения являются $x_1 = \sqrt{30}$ и $x_2 = -\sqrt{30}$.
Проверим условие $x \le 2$ для каждого корня. Рассмотрим корень $x_1 = \sqrt{30}$. Чтобы сравнить его с числом 2, сравним их квадраты: $(\sqrt{30})^2 = 30$ и $2^2 = 4$. Поскольку $30 > 4$, то и $\sqrt{30} > 2$. Так как один из корней больше 2, данное уравнение не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $x = \pm\sqrt{30}$.

б) $7x^2 = 10$

Сначала выразим $x^2$, разделив обе части уравнения на 7: $x^2 = \frac{10}{7}$.
Корнями данного уравнения являются $x_1 = \sqrt{\frac{10}{7}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{10}{7}}$.
Проверим условие $x \le 2$ для каждого корня. Рассмотрим корень $x_1 = \sqrt{\frac{10}{7}}$. Сравним квадраты: $(\sqrt{\frac{10}{7}})^2 = \frac{10}{7}$ и $2^2 = 4$. Поскольку $\frac{10}{7} < 4$, то и $\sqrt{\frac{10}{7}} < 2$. Этот корень удовлетворяет условию.
Рассмотрим корень $x_2 = -\sqrt{\frac{10}{7}}$. Это отрицательное число, поэтому оно очевидно меньше 2. Этот корень также удовлетворяет условию.
Так как оба корня не превосходят 2, данное уравнение удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{10}{7}}$.

в) $0,2x^2 = 3$

Выразим $x^2$, разделив обе части уравнения на 0,2: $x^2 = \frac{3}{0,2} = \frac{3}{1/5} = 15$.
Корнями данного уравнения являются $x_1 = \sqrt{15}$ и $x_2 = -\sqrt{15}$.
Проверим условие $x \le 2$ для каждого корня. Рассмотрим корень $x_1 = \sqrt{15}$. Сравним квадраты: $(\sqrt{15})^2 = 15$ и $2^2 = 4$. Поскольку $15 > 4$, то и $\sqrt{15} > 2$. Так как один из корней больше 2, данное уравнение не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $x = \pm\sqrt{15}$.

Проанализировав решения, делаем вывод, что только у уравнения б) $7x^2=10$ оба корня не превосходят числа 2.