Страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

334. Выберите из отмеченных точек те, которые соответствуют числам 159 и 127 (рис. 16).

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} {12}^2=144<159; {13}^2=169>159 \\ 12<\sqrt{159}<13 \\ 12,6^2=158,76; 12,7^2=161,29 \\ 12,6<\sqrt{159}<12,7 \\ Q(\sqrt{159}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} {11}^2=121<127; {12}^2=144>127 \\ 11<\sqrt{127}<12 \\ 11,2^2=125,44<127; 11,3^2=127,69>127 \\ 11,2<\sqrt{127}<11,3 \\ M(\sqrt{127}) \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо оценить значения чисел $\sqrt{159}$ и $\sqrt{127}$ и сопоставить их с точками на числовой оси.

Сначала определим координаты отмеченных точек. На числовой оси отрезок между двумя целыми числами (например, между 11 и 12) разделен на 4 равные части. Следовательно, цена одного деления составляет $1 / 4 = 0.25$.

• Точка M находится на первом делении после 11, ее координата: $11 + 0.25 = 11.25$.
• Точка N находится на третьем делении после 11, ее координата: $11 + 3 \cdot 0.25 = 11.75$.
• Точка P находится на втором делении после 12, ее координата: $12 + 2 \cdot 0.25 = 12.5$.
• Точка Q находится на третьем делении после 12, ее координата: $12 + 3 \cdot 0.25 = 12.75$.

$\sqrt{159}$

1. Найдем целые числа, между которыми находится $\sqrt{159}$. Для этого найдем квадраты ближайших целых чисел:

$12^2 = 144$

$13^2 = 169$

Так как $144 < 159 < 169$, то $\sqrt{144} < \sqrt{159} < \sqrt{169}$, следовательно $12 < \sqrt{159} < 13$. Значит, этому числу может соответствовать либо точка P, либо точка Q.

2. Чтобы определить, какая из точек (P=12.5 или Q=12.75) соответствует числу $\sqrt{159}$, возведем их координаты в квадрат и сравним с числом 159.

$P^2 = 12.5^2 = 156.25$

$Q^2 = 12.75^2 = 162.5625$

3. Теперь сравним, к какому из полученных квадратов ближе число 159:

Расстояние до $P^2$: $|159 - 156.25| = 2.75$

Расстояние до $Q^2$: $|159 - 162.5625| = 3.5625$

Число 159 находится ближе к 156.25, чем к 162.5625. Следовательно, число $\sqrt{159}$ на числовой оси находится ближе к точке P (12.5), чем к точке Q (12.75).

Ответ: Точка P соответствует числу $\sqrt{159}$.

$\sqrt{127}$

1. Найдем целые числа, между которыми находится $\sqrt{127}$.

$11^2 = 121$

$12^2 = 144$

Так как $121 < 127 < 144$, то $\sqrt{121} < \sqrt{127} < \sqrt{144}$, следовательно $11 < \sqrt{127} < 12$. Значит, этому числу может соответствовать либо точка M, либо точка N.

2. Чтобы определить, какая из точек (M=11.25 или N=11.75) соответствует числу $\sqrt{127}$, возведем их координаты в квадрат.

$M^2 = 11.25^2 = 126.5625$

$N^2 = 11.75^2 = 138.0625$

3. Теперь сравним, к какому из полученных квадратов ближе число 127:

Расстояние до $M^2$: $|127 - 126.5625| = 0.4375$

Расстояние до $N^2$: $|127 - 138.0625| = 11.0625$

Число 127 находится значительно ближе к 126.5625, чем к 138.0625. Следовательно, число $\sqrt{127}$ на числовой оси находится ближе к точке M (11.25).

Ответ: Точка M соответствует числу $\sqrt{127}$.

335. Сравните с нулём значение выражения:

a) $\sqrt{7}-3<0,$ так как $2<\sqrt{7}<3$

б) $11-\sqrt{107}>0,$ так как $10<\sqrt{107}<11$

в) $\sqrt{85}-4>0,$ так как $9<\sqrt{85}<10$

г) $19-\sqrt{326}>0,$ так как $18<\sqrt{326}<19$

д) $15-\sqrt{225}=15-15=0$

е) $\sqrt{625}-25=25-25=0$

а)

Чтобы сравнить значение выражения $\sqrt{7} - 3$ с нулём, необходимо сравнить числа $\sqrt{7}$ и $3$. Для этого представим число $3$ в виде квадратного корня: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $7$ и $9$.

Поскольку $7 < 9$, то и $\sqrt{7} < \sqrt{9}$.

Следовательно, $\sqrt{7} < 3$, а значит, разность $\sqrt{7} - 3$ будет отрицательной.

$\sqrt{7} - 3 < 0$.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

б)

Чтобы сравнить значение выражения $11 - \sqrt{107}$ с нулём, сравним числа $11$ и $\sqrt{107}$.

Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат первого числа больше квадрата второго, то и первое число больше второго.

$11^2 = 121$

$(\sqrt{107})^2 = 107$

Поскольку $121 > 107$, то и $11 > \sqrt{107}$.

Следовательно, разность $11 - \sqrt{107}$ будет положительной.

$11 - \sqrt{107} > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.

в)

Чтобы сравнить выражение $\sqrt{85} - 4$ с нулём, сравним $\sqrt{85}$ и $4$.

Представим число $4$ в виде квадратного корня: $4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$.

Сравним подкоренные выражения: $85$ и $16$.

Так как $85 > 16$, то $\sqrt{85} > \sqrt{16}$.

Следовательно, $\sqrt{85} > 4$, а значит, разность $\sqrt{85} - 4$ будет положительной.

$\sqrt{85} - 4 > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.

г)

Чтобы сравнить выражение $19 - \sqrt{326}$ с нулём, сравним числа $19$ и $\sqrt{326}$.

Возведём оба положительных числа в квадрат:

$19^2 = 361$

$(\sqrt{326})^2 = 326$

Так как $361 > 326$, то и $19 > \sqrt{326}$.

Следовательно, разность $19 - \sqrt{326}$ будет положительной.

$19 - \sqrt{326} > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.

д)

Чтобы сравнить выражение $15 - \sqrt{225}$ с нулём, вычислим его точное значение.

Найдём значение квадратного корня: $\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 225$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$15 - \sqrt{225} = 15 - 15 = 0$.

Ответ: значение выражения равно нулю.

е)

Чтобы сравнить выражение $\sqrt{625} - 25$ с нулём, вычислим его точное значение.

Найдём значение квадратного корня: $\sqrt{625} = 25$, так как $25^2 = 625$.

Подставим полученное значение в выражение:

$\sqrt{625} - 25 = 25 - 25 = 0$.

Ответ: значение выражения равно нулю.

336. Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{\sqrt{5-3}}$ не имеет смысла, так как $2<\sqrt{5}<3$ и $\sqrt{5}-3<0$

б) $\sqrt{4-\sqrt{12}}$ имеет смысл, так как $3<\sqrt{12}<4$ и $4-\sqrt{12}>0$

а)

Выражение вида $\sqrt{x}$ имеет смысл (определено в множестве действительных чисел), если подкоренное выражение $x$ неотрицательно, то есть $x \ge 0$. Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение $\sqrt{\sqrt{5}-3}$, нужно установить знак выражения $\sqrt{5}-3$.

Для этого сравним числа $\sqrt{5}$ и $3$. Возведем оба положительных числа в квадрат:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$3^2 = 9$

Поскольку $5 < 9$, то $\sqrt{5} < \sqrt{9}$, и, следовательно, $\sqrt{5} < 3$.

Разность $\sqrt{5}-3$ является отрицательным числом. Так как подкоренное выражение отрицательно, то исходное выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

б)

Аналогично, для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение $\sqrt{4-\sqrt{12}}$, нужно установить знак выражения $4-\sqrt{12}$.

Для этого сравним числа $4$ и $\sqrt{12}$. Возведем оба положительных числа в квадрат:

$4^2 = 16$

$(\sqrt{12})^2 = 12$

Поскольку $16 > 12$, то $\sqrt{16} > \sqrt{12}$, и, следовательно, $4 > \sqrt{12}$.

Разность $4-\sqrt{12}$ является положительным числом. Так как подкоренное выражение положительно, то исходное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

337. Площадь квадрата равна 18 см². Найдите с помощью калькулятора его сторону с точностью до 0,1 см.

Пусть сторона квадрата a см, тогда

$$\begin{gathered} a^2=18, a>0 \\ a=\sqrt{18}=4,2 см \end{gathered}$$

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны. Из условия известно, что $S = 18$ см². Чтобы найти сторону квадрата, необходимо извлечь квадратный корень из его площади:
$a = \sqrt{18}$.

С помощью калькулятора вычислим значение $\sqrt{18}$:
$a = \sqrt{18} \approx 4.242640687...$ см.

Теперь необходимо округлить полученное значение с точностью до 0,1 см, то есть оставить один знак после запятой. Для этого смотрим на следующую цифру (вторую после запятой). В нашем случае это цифра 4.
Так как $4 < 5$, то предыдущую цифру (2) мы не изменяем, а все последующие цифры отбрасываем.
Таким образом, $a \approx 4.2$ см.

Ответ: 4,2 см.

338. Длина стороны a₈ правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле a₈ = R2 -2 Найдите a₈ с помощью калькулятора (с точностью до 0,1), если:

а) R = 9,4 см;

б) R = 10,5 см.

$a_8=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$

a) R=9,4 см

$$\begin{gathered} a_8=9,4\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 9,4\sqrt{2-1,4}=9,4\sqrt{0,6}\approx \\ \approx 9,4·0,8=7,52 \left(\text{см}\right) \end{gathered}$$

б) R=10,5 см

$$\begin{gathered} a_8=10,5\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 10,5\sqrt{2-1,4}=10,5\sqrt{0,6}\approx \\ \approx 10,5·0,8=8,4 \left(\text{см}\right) \end{gathered}$$

а)

Для нахождения длины стороны $a_8$ правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса $R = 9,4$ см, используем данную формулу: $a_8 = R\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

Подставляем значение $R$ в формулу:

$a_8 = 9,4 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}$

С помощью калькулятора вычислим значение выражения. Для большей точности возьмем $\sqrt{2} \approx 1,4142$.

$a_8 \approx 9,4 \cdot \sqrt{2 - 1,4142} = 9,4 \cdot \sqrt{0,5858}$

$\sqrt{0,5858} \approx 0,7654$

$a_8 \approx 9,4 \cdot 0,7654 \approx 7,19476$

Округлим результат до десятых (с точностью до 0,1), получим:

$a_8 \approx 7,2$ см.

Ответ: $7,2$ см.

б)

Аналогично, для нахождения длины стороны $a_8$ при радиусе $R = 10,5$ см, подставим это значение в формулу.

$a_8 = 10,5 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}$

Используем ранее вычисленное значение $\sqrt{2-\sqrt{2}} \approx 0,7654$.

$a_8 \approx 10,5 \cdot 0,7654 \approx 8,0367$

Округлим результат до десятых (с точностью до 0,1), получим:

$a_8 \approx 8,0$ см.

Ответ: $8,0$ см.

339. Свободно падающее тело в безвоздушном пространстве проходит s см за t с, где t = 2sg g — ускорение свободного падения, g ≈ 10 м/с². Пользуясь калькулятором, вычислите t с точно-стью до 0,1 с, если:

а) s = 175;

б) s = 225.

$t=\sqrt{\frac{2s}{q}}, q\approx 10{\text{м/с}}^2$

a) s=175

$t=\sqrt{\frac{2·175}{10}}=\sqrt{35}\approx 5,9\text{с}$

б) s=225

$t=\sqrt{\frac{2·225}{10}}=\sqrt{45}\approx 6,7\text{с}$

Для решения задачи используется формула времени свободного падения $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$. В условии даны расстояние $s$ в сантиметрах (см) и ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Для корректного расчета необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ). Переведем расстояние $s$ из сантиметров в метры, используя соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

а)
Дано значение расстояния $s = 175 \text{ см}$.
1. Переведем сантиметры в метры:
$s = 175 \text{ см} = 1.75 \text{ м}$.
2. Подставим значения в формулу для вычисления времени $t$:
$t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.75}{10}} = \sqrt{\frac{3.5}{10}} = \sqrt{0.35}$.
3. Используя калькулятор, найдем значение корня:
$t \approx 0.591607... \text{ с}$.
4. Округлим полученный результат с точностью до 0,1 с (до одного знака после запятой):
$t \approx 0.6 \text{ с}$.
Ответ: $0.6 \text{ с}$.

б)
Дано значение расстояния $s = 225 \text{ см}$.
1. Переведем сантиметры в метры:
$s = 225 \text{ см} = 2.25 \text{ м}$.
2. Подставим значения в формулу для вычисления времени $t$:
$t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2.25}{10}} = \sqrt{\frac{4.5}{10}} = \sqrt{0.45}$.
3. Используя калькулятор, найдем значение корня:
$t \approx 0.670820... \text{ с}$.
4. Округлим полученный результат с точностью до 0,1 с (до одного знака после запятой):
$t \approx 0.7 \text{ с}$.
Ответ: $0.7 \text{ с}$.

340. Время t (с) полного колебания маятника вычисляется по формуле t = 2πlg, где l (см) — длина маятника, g ≈ 10 м/с², p ≈ 3,14. Найдите t с помощью калькулятора с точностью до 0,1 с, если l равно:

а) 22;

б) 126.

$t=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{q}}}, \mathrm{q}\approx 10{\text{м/с}}^2, \mathrm{\pi }\approx 3,14$

a) l=22

$t=2·3,14\sqrt{\frac{22}{10}}\approx 6,28·1,5=9,42 \left(\text{c}\right)$

б) l=126

$t=2·3,14\sqrt{\frac{126}{10}}\approx 6,28·3,5=21,98 \left(\text{c}\right)$

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления времени полного колебания маятника: $t = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

По условию нам даны следующие значения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ и $\pi \approx 3,14$.

Важно учесть, что длина маятника $l$ дана в сантиметрах, а ускорение свободного падения $g$ — в м/с?. Для корректности расчетов необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ). Поэтому мы переведем длину $l$ из сантиметров в метры, разделив ее значение на 100.

а)

Найдем время $t$, если $l = 22 \text{ см}$.

1. Переведем длину в метры: $l = 22 \text{ см} = 0,22 \text{ м}$.

2. Подставим известные значения в формулу:

$t = 2 \times 3,14 \times \sqrt{\frac{0,22}{10}} = 6,28 \times \sqrt{0,022}$

3. Вычислим значение с помощью калькулятора:

$t \approx 6,28 \times 0,14832 \approx 0,93146 \text{ с}$

4. Округлим полученный результат с точностью до 0,1 с:

$t \approx 0,9 \text{ с}$

Ответ: $0,9 \text{ с}$.

б)

Найдем время $t$, если $l = 126 \text{ см}$.

1. Переведем длину в метры: $l = 126 \text{ см} = 1,26 \text{ м}$.

2. Подставим известные значения в формулу:

$t = 2 \times 3,14 \times \sqrt{\frac{1,26}{10}} = 6,28 \times \sqrt{0,126}$

3. Вычислим значение с помощью калькулятора:

$t \approx 6,28 \times 0,35496 \approx 2,22915 \text{ с}$

4. Округлим полученный результат с точностью до 0,1 с:

$t \approx 2,2 \text{ с}$

Ответ: $2,2 \text{ с}$.

341. Решите данные уравнения и укажите те из них, у которых оба корня не превосходят числа 2:

а) x² = 30;

б) 7x² = 10;

в) 0,2x² = 3.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }{x}^2=30 \\ {x}_1=\sqrt{30}, 5<\sqrt{30}<6 \\ {x}_2=-\sqrt{30} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{30}$ и $\sqrt{30}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }7x^2=10 \\ {x}^2=\frac{10}{7} \\ {x}_1=\sqrt{\frac{10}{7}}=\sqrt{1\frac{3}{7}}, 1<\sqrt{1\frac{3}{7}}<2 \\ {x}_2=-\sqrt{\frac{10}{7}}=-\sqrt{1\frac{3}{7}}, -2<-\sqrt{1\frac{3}{7}}<-1 \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{1\frac{3}{7}}$ и $\sqrt{1\frac{3}{7}}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }0,2x^2=3 \\ {x}^2=\frac{3}{0,2} \\ {x}^2=15 \\ {x}_1=\sqrt{15}, 3<\sqrt{15}<4 \\ {x}_2=-\sqrt{15} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{15}$ и $\sqrt{15}$

Оба корня не превосходят число 2 у уравнения б)

Для решения задачи необходимо найти корни каждого уравнения, а затем проверить, удовлетворяют ли его корни заданному условию "не превосходят числа 2", то есть $x \le 2$.

а) $x^2 = 30$

Корнями данного уравнения являются $x_1 = \sqrt{30}$ и $x_2 = -\sqrt{30}$.
Проверим условие $x \le 2$ для каждого корня. Рассмотрим корень $x_1 = \sqrt{30}$. Чтобы сравнить его с числом 2, сравним их квадраты: $(\sqrt{30})^2 = 30$ и $2^2 = 4$. Поскольку $30 > 4$, то и $\sqrt{30} > 2$. Так как один из корней больше 2, данное уравнение не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $x = \pm\sqrt{30}$.

б) $7x^2 = 10$

Сначала выразим $x^2$, разделив обе части уравнения на 7: $x^2 = \frac{10}{7}$.
Корнями данного уравнения являются $x_1 = \sqrt{\frac{10}{7}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{10}{7}}$.
Проверим условие $x \le 2$ для каждого корня. Рассмотрим корень $x_1 = \sqrt{\frac{10}{7}}$. Сравним квадраты: $(\sqrt{\frac{10}{7}})^2 = \frac{10}{7}$ и $2^2 = 4$. Поскольку $\frac{10}{7} < 4$, то и $\sqrt{\frac{10}{7}} < 2$. Этот корень удовлетворяет условию.
Рассмотрим корень $x_2 = -\sqrt{\frac{10}{7}}$. Это отрицательное число, поэтому оно очевидно меньше 2. Этот корень также удовлетворяет условию.
Так как оба корня не превосходят 2, данное уравнение удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{10}{7}}$.

в) $0,2x^2 = 3$

Выразим $x^2$, разделив обе части уравнения на 0,2: $x^2 = \frac{3}{0,2} = \frac{3}{1/5} = 15$.
Корнями данного уравнения являются $x_1 = \sqrt{15}$ и $x_2 = -\sqrt{15}$.
Проверим условие $x \le 2$ для каждого корня. Рассмотрим корень $x_1 = \sqrt{15}$. Сравним квадраты: $(\sqrt{15})^2 = 15$ и $2^2 = 4$. Поскольку $15 > 4$, то и $\sqrt{15} > 2$. Так как один из корней больше 2, данное уравнение не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $x = \pm\sqrt{15}$.

Проанализировав решения, делаем вывод, что только у уравнения б) $7x^2=10$ оба корня не превосходят числа 2.