Страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

297. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите:

a) $\sqrt{225}=15; \sqrt{169}=13; \sqrt{324}=18; \sqrt{361}=19$

б) $\sqrt{1,44}=1,2; \sqrt{3,24}=1,8; \sqrt{2,56}=1,6;$$\sqrt{2,25}=1,5$

в) $\sqrt{576}=24; \sqrt{1764}=42; \sqrt{3721}=61;$$\sqrt{7396}=86$

г) $\sqrt{7,29}=2,7; \sqrt{13,69}=3,7; \sqrt{56,25}=7,5;$$\sqrt{77,44}=8,8$

а) Для нахождения значений квадратных корней воспользуемся таблицей квадратов натуральных чисел. Арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
$ \sqrt{225} $: по таблице квадратов находим, что $15^2 = 225$, следовательно $ \sqrt{225} = 15 $.
$ \sqrt{169} $: по таблице квадратов находим, что $13^2 = 169$, следовательно $ \sqrt{169} = 13 $.
$ \sqrt{324} $: по таблице квадратов находим, что $18^2 = 324$, следовательно $ \sqrt{324} = 18 $.
$ \sqrt{361} $: по таблице квадратов находим, что $19^2 = 361$, следовательно $ \sqrt{361} = 19 $.
Ответ: 15; 13; 18; 19.

б) Для нахождения квадратного корня из десятичной дроби, представим ее в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством корня из дроби: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ (для $ a \ge 0, b > 0 $).
$ \sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} $. Используя таблицу квадратов, находим $ \sqrt{144} = 12 $ и $ \sqrt{100} = 10 $. Таким образом, $ \frac{12}{10} = 1,2 $.
$ \sqrt{3,24} = \sqrt{\frac{324}{100}} = \frac{\sqrt{324}}{\sqrt{100}} $. Из таблицы квадратов $ \sqrt{324} = 18 $. Таким образом, $ \frac{18}{10} = 1,8 $.
$ \sqrt{2,56} = \sqrt{\frac{256}{100}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{100}} $. Из таблицы квадратов $ \sqrt{256} = 16 $. Таким образом, $ \frac{16}{10} = 1,6 $.
$ \sqrt{2,25} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}} $. Из таблицы квадратов $ \sqrt{225} = 15 $. Таким образом, $ \frac{15}{10} = 1,5 $.
Ответ: 1,2; 1,8; 1,6; 1,5.

в) Снова воспользуемся таблицей квадратов натуральных чисел для нахождения значений корней.
$ \sqrt{576} $: по таблице квадратов $24^2 = 576$, следовательно $ \sqrt{576} = 24 $.
$ \sqrt{1764} $: по таблице квадратов $42^2 = 1764$, следовательно $ \sqrt{1764} = 42 $.
$ \sqrt{3721} $: по таблице квадратов $61^2 = 3721$, следовательно $ \sqrt{3721} = 61 $.
$ \sqrt{7396} $: по таблице квадратов $86^2 = 7396$, следовательно $ \sqrt{7396} = 86 $.
Ответ: 24; 42; 61; 86.

г) Применим тот же метод, что и в пункте б), для нахождения корней из десятичных дробей.
$ \sqrt{7,29} = \sqrt{\frac{729}{100}} = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{100}} $. Из таблицы квадратов $ \sqrt{729} = 27 $. Получаем $ \frac{27}{10} = 2,7 $.
$ \sqrt{13,69} = \sqrt{\frac{1369}{100}} = \frac{\sqrt{1369}}{\sqrt{100}} $. Из таблицы квадратов $ \sqrt{1369} = 37 $. Получаем $ \frac{37}{10} = 3,7 $.
$ \sqrt{56,25} = \sqrt{\frac{5625}{100}} = \frac{\sqrt{5625}}{\sqrt{100}} $. Из таблицы квадратов $ \sqrt{5625} = 75 $. Получаем $ \frac{75}{10} = 7,5 $.
$ \sqrt{77,44} = \sqrt{\frac{7744}{100}} = \frac{\sqrt{7744}}{\sqrt{100}} $. Из таблицы квадратов $ \sqrt{7744} = 88 $. Получаем $ \frac{88}{10} = 8,8 $.
Ответ: 2,7; 3,7; 7,5; 8,8.

298. Какие из чисел являются рациональными, а какие — иррациональными?

$\sqrt{0,04}=0,2$ - рациональное

$\sqrt{0,025}$ - иррациональное

$\sqrt{0,4}$ - иррациональное

$\sqrt{1,21}=1,1$ - рациональное

$\sqrt{6,4}$ - иррациональное

$\sqrt{0,0036}=0,06$ - рациональное

$\sqrt{0,256}$ - иррациональное

$\sqrt{0,16}=0,4$ - рациональное

$\sqrt{0,000001}=0,001$ - рациональное

$\sqrt{52,9}$ - иррациональное

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Иррациональное число, в свою очередь, нельзя представить в таком виде. Корень квадратный из числа является рациональным только в том случае, если подкоренное выражение представляет собой точный квадрат рационального числа. Проанализируем каждое число из списка.

Числа, которые являются рациональными:

$ \sqrt{0,04} $: Это число является рациональным. Подкоренное выражение $0,04$ можно представить как квадрат рационального числа $0,2$, поскольку $0,2^2 = 0,04$.
Следовательно, $ \sqrt{0,04} = 0,2 $.
Ответ: рациональное.

$ \sqrt{1,21} $: Это число является рациональным. Подкоренное выражение $1,21$ является квадратом рационального числа $1,1$, поскольку $1,1^2 = 1,21$.
Следовательно, $ \sqrt{1,21} = 1,1 $.
Ответ: рациональное.

$ \sqrt{0,0036} $: Это число является рациональным. Подкоренное выражение $0,0036$ является квадратом рационального числа $0,06$, поскольку $0,06^2 = 0,0036$.
Следовательно, $ \sqrt{0,0036} = 0,06 $.
Ответ: рациональное.

$ \sqrt{0,16} $: Это число является рациональным. Подкоренное выражение $0,16$ является квадратом рационального числа $0,4$, поскольку $0,4^2 = 0,16$.
Следовательно, $ \sqrt{0,16} = 0,4 $.
Ответ: рациональное.

$ \sqrt{0,000001} $: Это число является рациональным. Подкоренное выражение $0,000001$ является квадратом рационального числа $0,001$, поскольку $0,001^2 = 0,000001$.
Следовательно, $ \sqrt{0,000001} = 0,001 $.
Ответ: рациональное.

Числа, которые являются иррациональными:

$ \sqrt{0,025} $: Это число является иррациональным. Не существует рационального числа, квадрат которого равен $0,025$. Если представить его в виде дроби $ \sqrt{\frac{25}{1000}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{1000}} = \frac{5}{10\sqrt{10}} $, то видно, что из знаменателя ($1000$) нельзя извлечь целый корень, поэтому результат иррационален.
Ответ: иррациональное.

$ \sqrt{0,4} $: Это число является иррациональным. Представив его в виде дроби $ \sqrt{\frac{4}{10}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} $, видим, что число $10$ не является полным квадратом.
Ответ: иррациональное.

$ \sqrt{6,4} $: Это число является иррациональным. Представив его в виде дроби $ \sqrt{\frac{64}{10}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}} $, видим, что число $10$ не является полным квадратом.
Ответ: иррациональное.

$ \sqrt{0,256} $: Это число является иррациональным. Представив его в виде дроби $ \sqrt{\frac{256}{1000}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{1000}} = \frac{16}{10\sqrt{10}} $, видим, что число $1000$ не является полным квадратом.
Ответ: иррациональное.

$ \sqrt{52,9} $: Это число является иррациональным. Представив его в виде дроби $ \sqrt{\frac{529}{10}} = \frac{\sqrt{529}}{\sqrt{10}} = \frac{23}{\sqrt{10}} $, видим, что число $10$ не является полным квадратом ($23^2=529$).
Ответ: иррациональное.

299. Приведите контрпример для утверждения:

а) при любом натуральном значения n значение выражения 11 – n является иррациональным числом;

б) при любом натуральном значения n значение выражения 25 – n является иррациональным числом.

a) при n=2 $\sqrt{11-n}=\sqrt{11-2}=\sqrt{9}=3$ - рац. число

б) при n=9 $\sqrt{25-n}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ - рац. число

а) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{11-n}$ является иррациональным числом. Чтобы опровергнуть это утверждение, необходимо найти контрпример — такое натуральное число $n$, при котором значение выражения будет рациональным. Выражение $\sqrt{k}$ является рациональным числом, если $k$ — это полный квадрат целого числа ($0, 1, 4, 9, \dots$). Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $11-n \ge 0$, то есть $n \le 11$. Так как $n$ — натуральное число, то $1 \le n \le 11$.
Подберем такое значение $n$, чтобы $11-n$ стало полным квадратом. Например, пусть $11-n = 9$. Решая это уравнение, получаем $n = 11 - 9 = 2$. Число 2 является натуральным и удовлетворяет условию $n \le 11$.
При $n=2$ получаем: $\sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$. Число 3 — рациональное, что противоречит исходному утверждению. Таким образом, $n=2$ является контрпримером.
Ответ: например, при $n=2$ значение выражения равно $3$, что является рациональным числом.

б) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{25-n}$ является иррациональным числом. Аналогично пункту а), ищем контрпример — такое натуральное число $n$, при котором $25-n$ является полным квадратом. Условия для $n$: $n$ — натуральное и $25-n \ge 0$, то есть $1 \le n \le 25$.
Подберем такое значение $n$, чтобы $25-n$ стало полным квадратом. Например, пусть $25-n=16$. Решая это уравнение, получаем $n = 25 - 16 = 9$. Число 9 является натуральным и удовлетворяет условию $n \le 25$.
При $n=9$ получаем: $\sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$. Число 4 — рациональное, что противоречит исходному утверждению. Таким образом, $n=9$ является контрпримером.
Ответ: например, при $n=9$ значение выражения равно $4$, что является рациональным числом.

300. Какая из точек — А или В — координатной прямой ближе к точке с координатой нуль, если:

a) $A\left(\sqrt{15,21}\right)=A(3,9)$

Расстояние от точки A до точки с координатой нуль равно 3,9

$B(-\sqrt{16})=B(-4)$

Расстояние от точки B до точки с координатой нуль равно 4

3,9<4

Ответ: точка A ближе к точке с координатой нуль

б) $A\left(\sqrt{2\frac{7}{9}}\right)=A\left(\sqrt{\frac{25}{9}}\right)=A\left(\frac{5}{3}\right)=A\left(1\frac{2}{3}\right)$

Расстояние от точки A до точки с координатой нуль равно $1\frac{2}{3}$

$B\left(-\sqrt{1\frac{13}{36}}\right)=B\left(-\sqrt{\frac{49}{36}}\right)=B\left(-\frac{7}{6}\right)=B\left(-1\frac{1}{6}\right)$

Расстояние от точки B до точки с координатой нуль равно $1\frac{1}{6}$

$1\frac{2}{3}=1\frac{4}{6}; 1\frac{4}{6}>1\frac{1}{6}$

Ответ: точка B ближе к точке с координатой нуль

Чтобы определить, какая из точек — А или В — ближе к точке с координатой ноль, необходимо найти расстояние от каждой точки до нуля. Расстояние от точки с координатой $x$ до нуля на координатной прямой равно модулю (абсолютной величине) ее координаты, то есть $|x|$. Та точка, у которой модуль координаты меньше, находится ближе к нулю.

а) $A(\sqrt{15,21}), B(-\sqrt{16})$

Координата точки A: $x_A = \sqrt{15,21}$.
Координата точки B: $x_B = -\sqrt{16}$.

Найдем расстояние от каждой точки до нуля, вычислив модуль их координат:

Расстояние для точки A: $|x_A| = |\sqrt{15,21}| = \sqrt{15,21}$.
Расстояние для точки B: $|x_B| = |-\sqrt{16}| = \sqrt{16}$.

Теперь сравним полученные расстояния. Для сравнения $\sqrt{15,21}$ и $\sqrt{16}$ достаточно сравнить подкоренные выражения. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним числа $15,21$ и $16$:
$15,21 < 16$.
Следовательно, $\sqrt{15,21} < \sqrt{16}$.

Это означает, что расстояние от точки A до нуля меньше, чем расстояние от точки B до нуля. Значит, точка A находится ближе к точке с координатой ноль.
Для проверки можно также вычислить точные значения: $\sqrt{15,21} = 3,9$ и $\sqrt{16} = 4$. Расстояния равны $|3,9| = 3,9$ и $|-4|=4$. Так как $3,9 < 4$, точка А ближе к нулю.

Ответ: Точка А ближе к нулю.

б) $A(\sqrt{2\frac{7}{9}}), B(-\sqrt{1\frac{13}{36}})$

Координата точки A: $x_A = \sqrt{2\frac{7}{9}}$.
Координата точки B: $x_B = -\sqrt{1\frac{13}{36}}$.

Найдем расстояние от каждой точки до нуля:

Расстояние для точки A: $|x_A| = |\sqrt{2\frac{7}{9}}| = \sqrt{2\frac{7}{9}}$.
Расстояние для точки B: $|x_B| = |-\sqrt{1\frac{13}{36}}| = \sqrt{1\frac{13}{36}}$.

Сравним расстояния $\sqrt{2\frac{7}{9}}$ и $\sqrt{1\frac{13}{36}}$. Для этого сравним подкоренные выражения $2\frac{7}{9}$ и $1\frac{13}{36}$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18+7}{9} = \frac{25}{9}$.
$1\frac{13}{36} = \frac{1 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{36+13}{36} = \frac{49}{36}$.

Теперь сравним дроби $\frac{25}{9}$ и $\frac{49}{36}$. Приведем их к общему знаменателю $36$:
$\frac{25}{9} = \frac{25 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{100}{36}$.
Так как $100 > 49$, то $\frac{100}{36} > \frac{49}{36}$, а значит $2\frac{7}{9} > 1\frac{13}{36}$.

Следовательно, $\sqrt{2\frac{7}{9}} > \sqrt{1\frac{13}{36}}$.
Это означает, что расстояние от точки А до нуля больше, чем расстояние от точки В до нуля. Значит, точка B находится ближе к точке с координатой ноль.
Для проверки можно также вычислить точные значения: $|x_A| = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} = \frac{10}{6}$ и $|x_B| = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$. Так как $\frac{10}{6} > \frac{7}{6}$, точка B ближе к нулю.

Ответ: Точка B ближе к нулю.

301. Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{100}=10$ - да, т.к. 100>0

б) $\sqrt{-100}$ - нет, т.к. -100<0

в) $-\sqrt{100}=-10$ - да, т.к. 100>0

г) $\sqrt{{\left(-10\right)}^2}=\sqrt{100}=10$ - да, т.к. ${\left(-10\right)}^2>0$

д) $\sqrt{\left(-25\right)·\left(-4\right)}=\sqrt{100}=10$ - да, т.к. $\left(-25\right)·\left(-4\right)>0$

е) $\sqrt{-25·4}=\sqrt{-100}$ - нет, т.к. -100<0

а) Выражение $\sqrt{100}$ имеет смысл, так как подкоренное выражение (радиканд) $100$ является неотрицательным числом ($100 \ge 0$). Арифметический квадратный корень определён для всех неотрицательных чисел.
Ответ: да, имеет смысл.

б) Выражение $\sqrt{-100}$ не имеет смысла в области действительных чисел, так как подкоренное выражение $-100$ является отрицательным числом ($-100 < 0$). Арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определён.
Ответ: нет, не имеет смысла.

в) Выражение $-\sqrt{100}$ имеет смысл. В данном случае сначала вычисляется значение $\sqrt{100}$, что возможно, так как $100 > 0$. После вычисления корня ($\sqrt{100} = 10$) к результату применяется знак минус. Знак минус стоит перед корнем, а не под ним. Таким образом, $-\sqrt{100} = -10$.
Ответ: да, имеет смысл.

г) Выражение $\sqrt{(-10)^2}$ имеет смысл. Сначала необходимо вычислить значение подкоренного выражения: $(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$. Так как $100 > 0$, корень из этого числа извлечь можно. $\sqrt{(-10)^2} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: да, имеет смысл.

д) Выражение $\sqrt{(-25) \cdot (-4)}$ имеет смысл. Вычислим значение подкоренного выражения: $(-25) \cdot (-4) = 100$. Так как $100 > 0$, корень из этого числа извлечь можно. $\sqrt{(-25) \cdot (-4)} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: да, имеет смысл.

е) Выражение $\sqrt{-25 \cdot 4}$ не имеет смысла. Вычислим значение подкоренного выражения, соблюдая порядок действий: $-25 \cdot 4 = -100$. Так как подкоренное выражение $-100$ отрицательно, извлечь арифметический квадратный корень из этого числа в области действительных чисел нельзя.
Ответ: нет, не имеет смысла.

302. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6.

$$\begin{gathered} \begin{array}{cccc}\sqrt{x}=0& \sqrt{x}=1& \sqrt{x}=3& \sqrt{x}=10\\ x=0& x=1& x=9& x=100\\ \text{Ответ: 0}& \text{Ответ: 1}& \text{Ответ: 9}& \text{Ответ: 100}\end{array} \\ \sqrt{x}=0,6 \\ x=0,36 \text{Ответ:} 0,36 \end{gathered}$$

Для того чтобы найти число, зная его арифметический квадратный корень, необходимо это значение корня возвести в квадрат. Это следует из определения арифметического квадратного корня: если для неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $\sqrt{a} = b$, то это равносильно тому, что $a = b^2$.

0

Если арифметический квадратный корень из числа равен 0, то само число равно квадрату нуля:

$0^2 = 0$

Ответ: 0.

1

Если арифметический квадратный корень из числа равен 1, то само число равно квадрату единицы:

$1^2 = 1$

Ответ: 1.

3

Если арифметический квадратный корень из числа равен 3, то само число равно квадрату трех:

$3^2 = 9$

Ответ: 9.

10

Если арифметический квадратный корень из числа равен 10, то само число равно квадрату десяти:

$10^2 = 100$

Ответ: 100.

0,6

Если арифметический квадратный корень из числа равен 0,6, то само число равно квадрату 0,6:

$(0,6)^2 = 0,36$

Ответ: 0,36.

303. Найдите значение переменной х, при котором:

a) $\sqrt{x}=4$

$x=16$

Ответ: 16

б) $\sqrt{x}=0,5$

$x=0,25$

Ответ: 0,25

в) $2\sqrt{x}=0$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

Ответ: 0

г) $4\sqrt{x}=1$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=\frac{1}{4} \\ x=\frac{1}{16} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1}{16}$

д) $\sqrt{x}-8=0$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=8 \\ x=64 \end{gathered}$$

Ответ: 64

е) $3\sqrt{x}-2=0$

$$\begin{gathered} 3\sqrt{x}=2 \\ \sqrt{x}=\frac{2}{3} \\ x=\frac{4}{9} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{4}{9}$

а) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 4$ необходимо найти число, квадратный корень из которого равен 4. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$
Ответ: $16$

б) В уравнении $\sqrt{x} = 0,5$ также возводим обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$(\sqrt{x})^2 = (0,5)^2$
$x = 0,25$
Ответ: $0,25$

в) В уравнении $2\sqrt{x} = 0$ сначала разделим обе части на 2:
$\frac{2\sqrt{x}}{2} = \frac{0}{2}$
$\sqrt{x} = 0$
Теперь возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 0^2$
$x = 0$
Ответ: $0$

г) Для решения уравнения $4\sqrt{x} = 1$ сначала выразим $\sqrt{x}$, разделив обе части на 4:
$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$
Затем возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$
$x = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$

д) В уравнении $\sqrt{x} - 8 = 0$ сначала перенесем -8 в правую часть уравнения, изменив знак:
$\sqrt{x} = 8$
Теперь возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 8^2$
$x = 64$
Ответ: $64$

е) Для решения уравнения $3\sqrt{x} - 2 = 0$ сначала изолируем член с корнем. Перенесем -2 в правую часть:
$3\sqrt{x} = 2$
Теперь разделим обе части на 3:
$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$
И, наконец, возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{2}{3})^2$
$x = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

304. Существует ли значение переменной х, при котором:

a) $\sqrt{x}=0,1$

$$\begin{gathered} x={\left(0,1\right)}^2 \\ x=0,01 \end{gathered}$$

Ответ: да

б) $\sqrt{x}=-10$

Ответ: не существует, т.к. -10<0

в) $\sqrt{x}+1=0$

$\sqrt{x}=-1$

Ответ: не существует, т.к. -1<0

г) $\sqrt{x}-3=0$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=3 \\ x=3^2 \\ x=9 \end{gathered}$$

Ответ: да

а) Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x} = 0,1 $. По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Это означает, что $ \sqrt{x} \ge 0 $. В данном уравнении правая часть равна $0,1$, что является неотрицательным числом ($0,1 \ge 0$), поэтому такое равенство возможно. Чтобы найти значение $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{x})^2 = (0,1)^2 $
$ x = 0,01 $ Поскольку подкоренное выражение $x=0,01$ является неотрицательным числом, такое значение переменной $x$ существует.
Ответ: да, существует, $x = 0,01$.

б) Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x} = -10 $. Арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа по определению является неотрицательным числом. Это означает, что для любого допустимого $x$ (то есть $x \ge 0$) должно выполняться неравенство $ \sqrt{x} \ge 0 $. В данном уравнении корень приравнивается к отрицательному числу $-10$. Это противоречит определению арифметического квадратного корня. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором это равенство было бы верным.
Ответ: нет, не существует.

в) Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x} + 1 = 0 $. Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $ \sqrt{x} $:
$ \sqrt{x} = -1 $ Мы получили уравнение, в котором арифметический квадратный корень приравнивается к отрицательному числу. Как и в пункте б), это противоречит определению арифметического квадратного корня ($ \sqrt{x} \ge 0 $). Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет, не существует.

г) Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x} - 3 = 0 $. Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $ \sqrt{x} $:
$ \sqrt{x} = 3 $ Правая часть уравнения, $3$, является неотрицательным числом, что не противоречит определению арифметического квадратного корня. Чтобы найти значение $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{x})^2 = 3^2 $
$ x = 9 $ Поскольку подкоренное выражение $x=9$ является неотрицательным числом, такое значение переменной $x$ существует.
Ответ: да, существует, $x = 9$.

305. (Для работы в парах.) При каком значении переменной x верно равенство:

1) Обсудите, о каких равенствах можно сразу сказать, что они не являются верными ни при каких значениях x. Исключите их из рассмотрения.

2) Распределите, кто выполняет оставшиеся задания из первой строки, а кто — из второй строки, и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки

a) $\sqrt{x}=11$

$$\begin{gathered} x={11}^2 \\ x=121 \end{gathered}$$

Ответ: при x=121

б) $10\sqrt{x}=3$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=0,3 \\ x=0,3^2 \\ x=0,09 \end{gathered}$$

Ответ: при x=0,09

в) $\sqrt{x}=-20$

Ответ: ни при каком, т.к. -20<0

г) $2\sqrt{x}-1=0$

$$\begin{gathered} 2\sqrt{x}=1 \\ \sqrt{x}=\frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: при $x=\frac{1}{4}$

д) $5-\sqrt{x}=0$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=5 \\ x=25 \end{gathered}$$

Ответ: при x=25

е) $2+\sqrt{x}=0$

$\sqrt{x}=-2$

Ответ: ни при каком, т.к. -2<0

В соответствии с первым пунктом задания, проанализируем, какие из равенств не могут быть верными. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

В равенстве в) $\sqrt{x} = -20$ корень приравнивается к отрицательному числу, что противоречит определению.

В равенстве е) $2 + \sqrt{x} = 0$, если выразить корень, получим $\sqrt{x} = -2$. Это также невозможно.

Следовательно, уравнения в) и е) не имеют решений. Теперь решим остальные уравнения.

а) $\sqrt{x} = 11$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 11^2$
$x = 121$
Проверка: $\sqrt{121} = 11$. Равенство верно.
Ответ: $121$

б) $10\sqrt{x} = 3$
Сначала разделим обе части уравнения на 10, чтобы выразить $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{3}{10}$
$\sqrt{x} = 0.3$
Теперь возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (0.3)^2$
$x = 0.09$
Проверка: $10\sqrt{0.09} = 10 \times 0.3 = 3$. Равенство верно.
Ответ: $0.09$

в) $\sqrt{x} = -20$
Как было указано ранее, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет

г) $2\sqrt{x} - 1 = 0$
Сначала перенесем -1 в правую часть уравнения:
$2\sqrt{x} = 1$
Теперь разделим обе части на 2:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$x = \frac{1}{4}$
Проверка: $2\sqrt{\frac{1}{4}} - 1 = 2 \times \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{1}{4}$

д) $5 - \sqrt{x} = 0$
Перенесем $\sqrt{x}$ в правую часть уравнения:
$5 = \sqrt{x}$
Возведем обе части в квадрат:
$5^2 = (\sqrt{x})^2$
$25 = x$
Проверка: $5 - \sqrt{25} = 5 - 5 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $25$

е) $2 + \sqrt{x} = 0$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$\sqrt{x} = -2$
Как было указано ранее, это уравнение не имеет решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.
Ответ: решений нет